Transzendente Gleichung in algebraische Gleichung überführen und lösen

06.01.2012, 15:50	Cathy87	Auf diesen Beitrag antworten »
Transzendente Gleichung in algebraische Gleichung überführen und lösen Meine Frage: Hallihallo, ich bin fast am Verzweifeln. Ich soll folgende Gleichungen umformen, aber ich schaffs einfach nicht. Aus meinen Unterlagen werde ich nicht schlau und diverse Bücher und googlen helfen mir auch nicht. Es geht um folgende zwei Gleichungen: 1. $\begin{eqnarray} e^{x} + 2e^{-x}=3 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} ln \sqrt{x} + 1,5 ln x = ln (2x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also zur ersten hatte ich mir überlegt, dass ich wie folgt vorgehe: x ln(e) + (-x) ln(2+e) = ln (3) (scheint aber nicht wirklich zu stimmen) Ich habe auch die Lösungen gegeben, werde aber nicht schlau daraus. Lösungen: x1 = ln2 und x2=0
06.01.2012, 16:24	Cathy87	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transzendente Gleichung in algebraische Gleichung überführen und lösen Habe die Lösung der 2. Aufgabe vergessen. Die Lösung ist x=2
06.01.2012, 16:36	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dringend die Rechengesetze für den Logarithmus nachschlagen. z.b. ist i.A. $\begin{eqnarray} ln(a+b) \neq ln(a)+ln(b) \end{eqnarray}$ . Bei der 1. hilft die Substitution $\begin{eqnarray} y= e^x \end{eqnarray}$ Bei der 2: Anwenden der Log-Rechenregelen.
06.01.2012, 16:59	Cathy87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also die erste Aufgabe konnte ich nun lösen, hier mal meine Lösung: Substitution: $\begin{eqnarray} e^{x} = u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow u + 2 \frac{1}{u} = 3 \end{eqnarray}$ \| x u $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ u² + 2 = 3u \| - 3u $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ u² - 3u + 2 = 0 Einsetzen in Lösungsformel: $\begin{eqnarray} \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac} }{2a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ u1=1 ; u2=2 Rücksubstituion: $\begin{eqnarray} u=e^{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ x1=ln(1)=0 ; x2=ln(2) Danke vielmals, mir gehts jetzt schon viel besser, das ist ein tolles Gefühl, ich steh manchmal ganz schön aufm Schlauch... Ich mach mich nun mal an die 2. Aufgabe.
06.01.2012, 17:14	Cathy87	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ln \sqrt{x} + 1,5 ln x = ln (2x)<br /> \Rightarrow 0,5 ln x + 1,5 ln x\Rightarrow = ln 2 + ln x \end{eqnarray}$ Substituion: ln x = u $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0,5 u + 1,5 u = 0,7 + u<br /> \Rightarrow u = 0,7 \end{eqnarray}$ Rücksubstitution: $\begin{eqnarray} e^{u} = x <br /> \Rightarrow x = 2 \end{eqnarray}$ Nochmals danke für den Denkanstoß, da wär ich in 1000 Jahren nicht drauf gekommen...
06.01.2012, 17:16	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du noch ln2 stehen lässt statt 0,7 zu schreiben ist es perfekt.
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