Rotationsvolumen um die y-Achse

06.01.2012, 16:28

nusskipfaL

Rotationsvolumen um die y-Achse

Meine Frage:
Sollte für meine Prüfung lernen und stecke bei eigentlich Grundlegendem. Das Skriptum hilft mir in diesem Fall auch nicht weiter.

Die Aufgabe: Man berechne das Volumen des Körper, der durch Rotation des von den Kurven:
$\begin{eqnarray*} y = x^{2} , x + y = 2 , x = 0 (x \geq 0) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist im Grunde die Formel klar - Integrieren und da ich zwei Kurven habe "Minus-Rechnen". Problem hierbei ist jedoch ... Es dreht sich um die y-Achse. Also hätte ich mir gedacht, ich nehme die Umkehrfunktion und berechne somit die Drehung um die x-Achse (irgendwie richtig gedacht!?). Nach dem Umformen komme ich auf: $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = 2 - y \end{eqnarray*}$ .

Hätte das grundsätzlich in die Formel $\begin{eqnarray*} \pi * \int_a^b \! y^2\, dx \end{eqnarray*}$ eingefügt. Problem hierbei: Ist das jetzt richtig so, oder sollte ich es doch lieber bei y belassen und somit weiterhin um die y-Achse rotieren lassen mit der Formel: $\begin{eqnarray*} \pi * \int_a^b \! x^2\, dy \end{eqnarray*}$

Mein nächstes Problem sind die Grenzen. Da hier - natürlich - kein Intervall gegeben ist, wundere ich mich von wo bis wo ich meine Grenzen setzen sollte. Da in der Angabe steht $\begin{eqnarray*} x = 0 (x\geq 0) \end{eqnarray*}$ denke ich mal, dass eine der Grenzen 0 ist.
Ich habe mir auch als ersten Schritt schon Nullstellen und Überschneidungspunkte ausgerechnet und erhalte in meinem Intervall > 0 die Nullestelle $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ . Deshalb schätze ich, dass meine Grenzen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sind. Stimmt das!? Wären diese Grenzen jetzt für die Umkehrfunktion oder die "normale Berechnung"!?

Habe mir auch den Graphen schon geplottet, dh Nullstelle + Schnittpunkte sind korrekt.

06.01.2012, 18:12

mYthos

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Der Aufgabentext ist unvollständig. WAS rotiert und um welche Achse?
Hinweis: Es geht um die Schnittpunkte, diese liefern die Grenzen.

mY+

06.01.2012, 20:46

nusskipfaL

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Angabeerweiterung
Sorry ...

Man berechne das Volumen des Körpers, der durch Rotation des von den Kurven (siehe oben) begrenzten Bereichs um die y-Achse entsteht.

Theoretisch bin ich der Lösung schon etwas näher ...

Wenn es sich um die y-Achse dreht, nehme ich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \ x^{2} \, dx \end{eqnarray*}$ und setze dafür ein, was für's y dasteht. Also in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} = x \end{eqnarray*}$ . Also schon umgeformt. Da aber x² nur y.
Dreht es sich um die x-Achse, umgekehrt. Da würde ich dann also $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ verwenden (wegen y²)-

Größtes Problem also jetzt: Wie finde ich bei diesem Beispiel die Grenzen heraus!?

Zitat:

Hinweis: Es geht um die Schnittpunkte, diese liefern die Grenzen.

Heißt das also dass ich mit meinen Schnittpunkten die über 0 liegen - also (0,0) und (1,1) richtig liege und somit meine Grenzen als 0 und 1 einfüge?
Würde ich das genau gleich angehen wenn es eine Drehung um die x-Achse wäre?

06.01.2012, 22:07

mYthos

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Bei der Rotation um die y-Achse musst du als Grenzen natürlich die y-Werte der Schnittpunkte nehmen!

mY+

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