Vektorrechnung--fehlende Ecke im Tetraeder berechnen

Neue Frage »

06.01.2012, 21:01	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung--fehlende Ecke im Tetraeder berechnen Hallo =) Ich hätte da eine Aufgabe, mit der ich nicht weiter komme...bitte helft mir !!! Der punkt D (mit x_3>0) liegt auf g. Die Punkte A, B, C, D sind die Ecken einer Pyramide mit gleich langen Kanten ( regelmäßiges Tetraeder). Berechnen Sie die Koordinaten von D und das Volumen der Pyramide gegeben sind Punkte: A(6/3/0), B(9/6/0) und C(9/3/3) und die Gerade g: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen : ich habe rausgefunden, dass die Seiten vom Dreieck A,B,C gleich lang sind..... habe gehofft, dass ich den Eckpunkt D mir Hilfe vom Ortsvektor ausrechnen kann, aber ich glaube die Idee ist falsch..ich komme überhaupt nicht vorwärts....
06.01.2012, 21:26	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die kannst die Rechnung für den Abstand der Punkte A und D aufstellen und dieses gleich der Länge der anderen Kanten setzen. Auf diese Weise erhältst Du Lambda.
06.01.2012, 21:33	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
es tut mir Leid, aber ich verstehe es nicht...kannst du das vielleicht rechnerisch darstellen ?....
06.01.2012, 21:42	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja bereits den Abstand von z.B AB bestimmt, die gleiche Rechnung kannst Du auch für AD aufstellen. Die Koordinaten von D "kennst" Du auch: Die x1-Koordinate z.B. ist $\begin{eqnarray} 5 + 1\lambda \end{eqnarray}$
06.01.2012, 22:10	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
also... ich habe jetzt die Länge von AB gleich Länge AD gesetzt.... dann nach kurzer Umrechnung musste ich pq-Formel benutzen..bin zum Ergebnis \lambda_1=5 und \lambda_2=1 gekommen... Punkt D kann entweder Koordinaten D(6/6/3), oder D(10/2/-1)haben.... ist das soweit richtig?
06.01.2012, 22:16	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt D kann entweder Koordinaten D(6/6/3), oder D(10/2/-1)haben.... stimt nicht so ganz...es kann nur einen Punkt D geben, nämlich D (6/6/3), da die dritte Koordinate größer Null sein muss =)
Anzeige

06.01.2012, 22:19	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig, auch die Feststellung, daß nur einer der Punkte in Frage kommt.
06.01.2012, 22:25	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
gut..danke schön =) im das Volumen auszurechnen muss ich ja nur die passende Formel für die drei-seitige-Pyramide benutzen...also Betrag vom Spatprodukt durch 6 ?
06.01.2012, 22:35	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit dem Spatprodukt ist gut, da Du die Kantenlänge a bereits kennst, kannst Du auch die Formel für ein regelmäßiges Tetraeder benutzen: $\begin{eqnarray} V=\frac{a^3}{12} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Zum Vergleich kannst Du beides berechnen. Noch eine Anmerkung zum Punkt D: Da man Aufgaben nie so recht trauen darf, empfiehlt sich noch eine Probe, ob die Abstände DB und DC ebenfalls $\begin{eqnarray} \sqrt{18} \end{eqnarray}$ betragen. edit: falsche Punkte korrigiert
06.01.2012, 22:44	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, ja...die Formel habe ich noch nicht gekannt, deswegen habe ich den komplitierten Weg über Spatprodukt gewählt... die merke ich mir, danke =)
06.01.2012, 22:54	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen! Die Formel mußt Du Dir aber nur merken, falls Du oft solche Volumen berechnen mußt. Es reicht völlig aus zu wissen, daß sie existiert und sie dann bei Bedarf nachzuschlagen. Oder aber eben doch das Spatprodukt verwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Vektorrechnung--fehlende Ecke im Tetraeder berechnen

Verwandte Themen