vollständige Induktion

07.01.2012, 00:07	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion beweise durch voll. induktion $\begin{eqnarray} 3\|(10^{n}-1 ) \end{eqnarray}$ IA: für n = 1 einseten $\begin{eqnarray} 3\|(10^{1}-1 ) = 3\|9 ) \end{eqnarray}$ ist korrekt, da $\begin{eqnarray} 3\| 3 \cdot 3 \end{eqnarray}$ Iv : Es gilt für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\|(10^{n}-1 ) \end{eqnarray}$ Bei IS hab ich eine vertändnissfrage: $\begin{eqnarray} n \rightarrow n + 1 \end{eqnarray}$ das kam jetzt schon vorgegeben also: $\begin{eqnarray} 3\|(10^{n+1}-1 ) \Rightarrow ^{IV} 10 \cdot (10^{n} -1) + 10 - 1 \end{eqnarray}$ Woher kommt die $\begin{eqnarray} + 10 -1 \end{eqnarray}$ ???
07.01.2012, 00:22	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ziel ist es doch, dass man zeigt, dass 10^(n+1)-1 durch 3 teilbar ist, indem man die IV benutzt. Nun findet man in 10^(n+1)-1 ja noch nicht wirklich die IV wieder. Was macht man also, man trickst ein bisschen rum, denn es gilt: $\begin{eqnarray} 10^{n+1}-1=10 \cdot 10^n-1 \end{eqnarray}$ Sieht schon mal ein bisschen besser aus, aber man kann immer noch nicht die IV sehen bzw nutzen. Nun kommt der entscheidende Schritt, man erzeugt eine so genannte nahrhafte null, indem man nun erst 10 subtrahiert und dann sofort wieder addiert: $\begin{eqnarray} 10 \cdot 10^n-1=10 \cdot 10^n-10+10-1 \end{eqnarray}$ Klammert man nun die 10 bei den ersten beiden Summanden aus, dann hat man endlich seine IV da stehen. Jetzt muss man nur noch beten, dass die verbleibende Zahl 10-1 auch wirklich durch 3 teilbar ist.
08.01.2012, 16:12	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke jetzt hab ich es kapiert

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