Unitäre Diagonalisierung

06.01.2012, 23:16	Jerdo	Auf diesen Beitrag antworten »
Unitäre Diagonalisierung Nabend, hab hier ne Aufgabe an der ich gerade verzweifle Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 1+i \\ 1-i & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass A hermitesch ist. b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A sowieso eine othronormierte Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb C^{2} \end{eqnarray}$ aus Eigenvektoren von A. c) Geben Sie eine unitäre Matrix P an, so dass $\begin{eqnarray} P^{}AP \end{eqnarray}$ Diagonalgestalt hat. Meine Erfolge/Misserfolge: a) Ist schnell nachgerechnet, kein Problem. b) Eigenwerte sind $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2} = 4 \end{eqnarray}$ . Eigenvektoren bzw. EIgenräume sind $\begin{eqnarray} v_{1}=span\left[\begin{pmatrix} 1+i \\1 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2}=span\left[\begin{pmatrix} -1-i \\2 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray}$ . Die beiden Eigenvektoren sind auch bereits orthogonal und bilden damit eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb C^{2} \end{eqnarray}$ . c) So jetzt kommts. So wie ich das verstanden habe, ergibt sich die Transformationsmatrix aus den Eigenvektoren als Spalten. Also z.b.: $\begin{eqnarray} U=\begin{pmatrix} 1+i & -1-i \\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gut, die Matrix U funktioniert auch als Transformationsmatrix. Also $\begin{eqnarray} U^{-1}AU = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0\\ 0 & \lambda_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt. Passt also. Nun dachte ich, um eine unitäre Transformationsmatrix zu bekommen muss ich meine beiden orthogonalen Eigenvektoren nur noch normieren. Damit komm ich dann auf die Transformationsmatrix: $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{i}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{6}}-\frac{i}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mittels nachrechnen kommt aber bei $\begin{eqnarray} P^{}AP \end{eqnarray}$ nicht die gewünschte Diagonalmatrix heraus... Sieht einer evtl den Fehler? edit: Sry das sollte nach Hochschulmathematik, wenn das jemand verschieben könnte!?!
07.01.2012, 20:42	Jerdo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unitäre Diagonalisierung Weiß keiner was da falsch sein könnte? Ich verstehs ja auch nicht, ich mein die Definition für die Transformationsmatrix ist doch, dass die Spalten aus Eigenvektoren bestehen. Nun, die beiden Eigenvektoren sind ein dimensionale Vektorräume, dann muss ich doch einen belieben Vektor dadraus nehmen können bzw. den einen Vektor beliebig skalieren können (ist doch das gleiche). Also warum sollte die Matrix U als Transformationsmatrix hinhauen, die Matrix P aber nicht?
08.01.2012, 00:21	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade nachgerechnet, dass dein $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ richtig ist. Vermutlich hast du dich nur verrechnet.
08.01.2012, 01:21	Jerdo	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, super, danke, dann hab ichs ja doch kapiert

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