Beschränktheit einer rekursiven Folge

07.01.2012, 01:14

gummiwipfel

Beschränktheit einer rekursiven Folge

Die Aufgabe war, die folgende rekursive Folge auf Konvergenz zu überprüfen und ggf. den Grenzwert zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} a_1 = 0, a_{n+1} = \frac{1}{4} (a_n -3) \end{eqnarray*}$

1. Beschränktheit:
Wenn ich die ersten paar Glieder berechne, komme ich auf die Vermutung $\begin{eqnarray*} -1 < a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$ , was ich nun mit vollständiger Induktion beweisen müsste.
Induktionsbeginn: n=1 : $\begin{eqnarray*} -1 < a_1 = 0 \leq 0 \end{eqnarray*}$ , was wohl stimmt.
Was bei mir jetzt hängt ist der Schritt auf n+1, denn es müsste dann doch wohl so laufen:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{4} (a_n -3) \leq \frac{1}{4} (0-3) \end{eqnarray*}$ , also ich habe es nach oben hin abgeschätzt indem ich die 0 aus der Ungleichung eingesetzt habe, jedoch komme ich da dann auf $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ , was ja nicht ganz mit der 0 aus der Ungleichung zusammenpasst. Was lief hier schief?

2. Monotonie:
Monotonie zeig ich mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{1}{4} (a_n -3) - a_n = \frac{a_n}{4} - \frac{3}{4} - a_n = -\frac{3}{4} a_n - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}(a_n + 1) \end{eqnarray*}$ . Setze ich hier die Schau ich mir die untere Schranke an, sehe ich, dass die Klammer größer als 0 ist und das ganze somit kleiner als 0, womit die Folge monoton fallend ist, stimmt das soweit?

3. Grenzwert:
Bei Rekursiven Folgen haben wir in der Vorlesung folgendes gemacht:
Es gilt (wenn denn ein Grenzwert existiert): $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$
Nun sei $\begin{eqnarray*} b_n = a_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Das heißt:
(1) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = a \end{eqnarray*}$
und (2) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} (a_n -3) = \frac{1}{4} (a -3) \end{eqnarray*}$
Damit gilt: $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{4} (a -3) \end{eqnarray*}$ , womit ich auf a = -1 komme, was mit dem Intervall und der Vermutung oben zusammenpassen würde.

Wenn also 2. und 3. stimmt, dann hänge ich nur an der Beschränktheit, also meine Frage ist: wo fehlts da bei mir, bzw. wie "funktioniert das"? Augenzwinkern

Schonmal ein Dankeschön zu solch später Stunde, mfg

07.01.2012, 01:40

Kimi_R

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RE: Beschränktheit einer rekursiven Folge

Zitat:

Original von gummiwipfel
Die Aufgabe war, die folgende rekursive Folge auf Konvergenz zu überprüfen und ggf. den Grenzwert zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} a_1 = 0, a_{n+1} = \frac{1}{4} (a_n -3) \end{eqnarray*}$

1. Beschränktheit:
Wenn ich die ersten paar Glieder berechne, komme ich auf die Vermutung $\begin{eqnarray*} -1 < a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$ , was ich nun mit vollständiger Induktion beweisen müsste.
Induktionsbeginn: n=1 : $\begin{eqnarray*} -1 < a_1 = 0 \leq 0 \end{eqnarray*}$ , was wohl stimmt.
Was bei mir jetzt hängt ist der Schritt auf n+1, denn es müsste dann doch wohl so laufen:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{4} (a_n -3) \leq \frac{1}{4} (0-3) \end{eqnarray*}$ , also ich habe es nach oben hin abgeschätzt indem ich die 0 aus der Ungleichung eingesetzt habe, jedoch komme ich da dann auf $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ , was ja nicht ganz mit der 0 aus der Ungleichung zusammenpasst. Was lief hier schief?

Hier läuft doch nichts schief Freude

Das erste Folgenglied, also a_1, ist 0 und alle weiteren sind wie du richtig gezeigt hast kleiner oder gleich -3/4. Passt doch auch wunderbar zu deiner Induktionsbehauptung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{4} (a_n -3) \leq \frac{1}{4} (0-3) \leq 0 \end{eqnarray*}$

07.01.2012, 01:49

gummiwipfel

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Ach mein Gott, ich glaub es ist einfach zu Spät um Mathe zu machen, danke auch Big Laugh

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