Epsilon Delta Kriterium

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07.01.2012, 05:51	FaBa	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon Delta Kriterium Meine Frage: Die Aufgabe ist die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f(x)=x^2+x-2 \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Epsilon Delta Kriteriums zu beweisen. Meine Ideen: Mein Ansatz sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|-\|x^2-x_0^2\|\leq\|x^2+x-x_0^2-x_0\|=\|(x^2+x-2)-(x_0^2+x_0-2)\|=\|f(x)-f(x_0)\|<\epsilon <br /> => \|x-x_0\|-\|x^2-x_0^2\|<\epsilon <br /> <=> \|x-x_0\|<\epsilon+\|x^2-x_0^2\|<br /> <br /> \|x-x_0\|<\epsilon+\|x^2-x_0^2\|=\epsilon+(\|x-x_0\|\|x+x_0\|)\leq\epsilon+(\|x-x_0\|\|x+x_0\|)\leq\epsilon+(\delta\|x+x_0\|)<br /> \end{eqnarray}$ Ferner gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \|x+x_0\|\leq\|x\|+\|x_0\|=\|x-x_0+x_0\|+\|x_0\|\leq\|x-x_0\|+\|x_0\|+\|x_0\|\leq\delta+\|x_0\|+\|x_0\|<br /> => \|x+x_0\|\leq \delta+2\|x_0\|<br /> \end{eqnarray}$ Daraus folgt nun: $\begin{eqnarray} <br /> \epsilon+(\delta\|x+x_0\|) \leq \epsilon+(\delta(\delta+2\|x_0\|))=\epsilon+(\delta^2+\delta2\|x_0\|))<br /> \end{eqnarray}$ Insgesamt gilt also: $\begin{eqnarray} <br /> \|x-x_0\|<\epsilon\leq\epsilon+(\delta^2+\delta2\|x_0\|))<br /> \end{eqnarray}$ Nun müsste ich ja folgendes machen: $\begin{eqnarray} <br /> \epsilon+(\delta^2+\delta2\|x_0\|))=\delta<br /> \end{eqnarray*}$ Allerdings bekomme ich diese Gleichung nicht nach Delta umgestellt. Daraus schließe ich, dass entweder mein Ansatz mist ist oder das ich irgendwas übersehe. Vielen Dank im voraus.
07.01.2012, 15:11	Faba	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir wirklich niemand helfen?
07.01.2012, 17:41	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Die richtigen Schritte sind in deiner Rechnung enthalten, aber du hast auch einige überflüssige Umformungen gemacht, die eher vom Ziel wegführen... $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|= \|x^2-x_0^2+x-x_0\| \le \|x^2-x_0^2\|+\|x-x_0\|=(\|x+x_0\|+1)\|x-x_0\| \end{eqnarray}$ und jetzt noch die Klammer nach oben abschätzen
07.01.2012, 22:35	Faba	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohin genau soll mich diese Abschätzung denn führen? Mein Ziel ist es ja ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ zu finden, welches in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ steht, welches aber nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt.
07.01.2012, 23:04	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
du darfst annehmen, dass z.B. $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<1 \end{eqnarray}$ ist (dh. $\begin{eqnarray} \delta<1 \end{eqnarray}$ ), und damit $\begin{eqnarray} \|x+x_0\| \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen, wie schon in deiner Rechnung oben
08.01.2012, 02:23	FaBa	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja aber ich weiß ja nichtmal, ob $\begin{eqnarray} (\|x+x_0\|+1)\|x-x_0\| \end{eqnarray}$ größer oder kleiner als Epsilon ist. LG, Falk
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08.01.2012, 11:57	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
zunächst folgt aus der Annahme $\begin{eqnarray} \delta<1 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \|x+x_0\|=\|(x-x_0)+2x_0\|\le 1+2\|x_0\| \end{eqnarray}$ . Damit haben wir $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|\le 2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\| \stackrel{!}{<}\epsilon \end{eqnarray}$ und können das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ bestimmen
08.01.2012, 16:11	FaBa	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der ersten Ungleichung bin ich einverstanden, mit der Zweiten nicht wirklich, denn Epsilon kann beliebig gewählt werden. Angenommen die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|\le 2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\| \stackrel{!}{<}\epsilon \end{eqnarray}$ ist korrekt: Es sei: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|<2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\| \end{eqnarray}$ Definiere: $\begin{eqnarray} \epsilon:=\frac{\|f(x)-f(x_0)\|+2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\|}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =>\|f(x)-f(x_0)\| < \frac{\|f(x)-f(x_0)\|+2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\|}{2} < 2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\| <=> \|f(x)-f(x_0)\| < \epsilon < 2(\|x_0\|+1)\|x-x_0\|<br /> \end{eqnarray}$ => Widerspruch => Die Annahme ist falsch
08.01.2012, 17:23	FaBa	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Einwand war unsinn. Hat sich schon erledigt. Vielen Dank für deine Hilfe.

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