Basis bezüglich einer Darstellenden Matrix [Allgemein]

07.01.2012, 08:09	__Basti	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bezüglich einer Darstellenden Matrix [Allgemein] ich habe Probleme mit dem folgenden Aufgabentyp: Ich hab folgendes gegeben: die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Darstellende Matrix $\begin{eqnarray} L_B \end{eqnarray}$ bezüglich einer Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Gesucht: Eine Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} L_B \end{eqnarray}$ die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist. Ich stehe bei dieser Aufagbe komplett auf dem Schlauch. Wie muss ich vorgehen? Danke im Vorraus Basti
07.01.2012, 10:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt auf die Abbildung an. Für die Nullabbildung ist jede Basis gut genug.
07.01.2012, 11:11	__Basti	Auf diesen Beitrag antworten »
V:= { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} L:= V \rightarrow V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L:= \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a-3b & 0 \\ 0 & -2b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_B = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie geht man z.B bei dieser Aufgabe vor?
07.01.2012, 16:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^2, \varphi(x,y)=(x-3y,-2y) \end{eqnarray}$ ist bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray} M(\varphi)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das ist fast schon deine Matrix.
08.01.2012, 14:26	__Basti	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du das bitte erläutern?
08.01.2012, 14:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist ein zweidimensionaler reeller Vektorraum, also isomorph zum $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ genannt. In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
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08.01.2012, 15:41	__Basti	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, Danke!

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