Integral im Komplexen

07.01.2012, 09:19

latingirl

Integral im Komplexen

Meine Frage:
Hallo an alle!

Warum gilt: $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! cos(\lambda )e^{i\lambda } \, d\lambda =\pi \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich hab's schon mit partieller Integration zweimal hintereinander versucht (analog zum Reellen), klappt aber nicht...

Danke schon jetzt für eure Antworten!

07.01.2012, 11:02

Leopold

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Zerlege das in Real- und Imaginärteil. Das Imaginärteilintegral stellt eine ungerade Funktion dar. Nimm $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ als Integrationsintervall. Wegen der Periode $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ des Integranden darf man das (die primitive Periode ist sogar $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ).

07.01.2012, 11:28

latingirl

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Also, dass das Imaginärteilintegral verschwindet (das mit der Periode leuchtet mir auch ein; was ist eine primitive Periode?).
Warum ergibt sich aber für das Realteilintegral $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi }^\pi \! \cos^{2}(\lambda ) \, d\lambda =\pi \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2012, 11:48

Huggy

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Am einfachsten ergibt sich das, wenn du dir mit ähnlichen Überlegungen, wie sie dir Leopold vorgeschlagen hat, klar machst, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\cos ^2x dx=\int_0^{2\pi}\sin ^2 x dx \end{eqnarray*}$

Danach ist die Sache trivial.

07.01.2012, 11:52

Leopold

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Nun, das ist rein reeller Integrationskalkül. Es gibt (mindestens) 100 Varianten, dieses Integral zu berechnen, zum Beispiel die Folgende:

$\begin{eqnarray*} \int_{- \pi}^{\pi} \cos^2 \lambda ~ \dd \lambda = \frac{1}{2} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \left( \cos^2 \lambda + \cos^2 \lambda \right) ~ \dd \lambda = \frac{1}{2} \cdot \int_{- \pi}^{\pi} \left( 1 - \sin^2 \lambda + \cos^2 \lambda \right) ~ \dd \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \dd \lambda \quad + \quad \frac{1}{2} \int_{- \pi}^{\pi} \underbrace{\left( \cos \lambda - \sin \lambda \right)}_{u'(\lambda)} \cdot \underbrace{\left( \cos \lambda + \sin \lambda \right)}_{u(\lambda)} ~ \dd \lambda \end{eqnarray*}$

Jetzt wie angedeutet substituieren.

Man kann natürlich auch argumentieren, daß

$\begin{eqnarray*} \int_{- \pi}^{\pi} \sin^2 \lambda ~ \dd \lambda = \int_{- \pi}^{\pi} \cos^2 \lambda ~ \dd \lambda \end{eqnarray*}$

gelten muß. Denn der Sinusgraph und der Cosinusgraph sind ja nur um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gegeneinander verschoben, also auch ihre Quadrate, so daß sich beim Integrieren über eine Periode dasselbe ergeben muß. Somit sieht man in der Rechnung oben schon nach dem zweiten Schritt das Ergebnis.

Die primitive Periode ist die kleinste aller möglichen Perioden. Die Sinusfunktion hat die primitive Periode $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Das Wort "primitiv" läßt man hier gerne weg. Aber streng genommen sind auch $\begin{eqnarray*} 4 \pi , 6 \pi \end{eqnarray*}$ usw. Perioden der Sinusfunktion.

07.01.2012, 12:08

EinGast

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eine weitere Variante wäre mit dem Additionstheorem
$\begin{eqnarray*} \cos^2\lambda =\frac{1}{2}\Bigl(1+\cos (2\lambda)\Bigr) \end{eqnarray*}$
und die rechte Seite kann man direkt integrieren

07.01.2012, 12:12

latingirl

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \dd \lambda \quad + \quad \frac{1}{2} \int_{- \pi}^{\pi} \underbrace{\left( \cos \lambda - \sin \lambda \right)}_{u'(\lambda)} \cdot \underbrace{\left( \cos \lambda + \sin \lambda \right)}_{u(\lambda)} ~ \dd \lambda \end{eqnarray*}$

Jetzt wie angedeutet substituieren.

$\begin{eqnarray*} \quad \frac{1}{2} \int_{- \pi}^{\pi} \underbrace{\left( \cos \lambda - \sin \lambda \right)}_{u'(\lambda)} \cdot \underbrace{\left( \cos \lambda + \sin \lambda \right)}_{u(\lambda)} ~ \dd \lambda \end{eqnarray*}$ muss ja dann Null ergeben...
Welche Substitution ist gemeint?
Sonst hab ich alles verstanden, super Freude

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