Wahrscheinlichkeit P(X <= Y)

07.01.2012, 11:25	Sabrina1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit P(X <= Y) Meine Frage: Hallo, ich habe eine Übungsaufgabe bei der ich ein wenig ratlos bin. Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X,Y die gleichverteilt sind, also X,Y ~ R(0,1). Nun soll die Wahrscheinlichkeit P(X <= Y) berechnet werden. Meine Ideen: Ich habe leider keinen Ansatzpunkt, da ich nicht genau weiß wie man P(X <= Y) umformen kann. Ich würde gerne V irgendwie festhalten und über alle möglichen V vlt aufsummieren oder sowas, weiß aber nicht wie man das formulieren kann. Ich würde mich daher sehr über Ideen oder Hinweise freuen. Liebe Grüße Sabrina
07.01.2012, 20:44	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich um eine kontinuierliche Verteilung. Unterscheiden sich dann die Fälle $\begin{eqnarray} X \leq Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X<Y \end{eqnarray}$ ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Zufallsvariablen X und Y eine größer als die andere ist? (Wie groß ist bei einer kontinuierlichen Verteilung die Wahrscheinlichkeit der Gleichheit?) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Y ist? Oder anders: X nehme den Wert x an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Y größer? Es gibt zu diesem Fall den genauso häufigen Fall, dass X den Wert 1-x annimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Y dann größer?
07.01.2012, 21:24	Sabrina1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich glaube bei einer stetigen Verteilung gibt es tatsächlich keinen Unterschied zwischen P(X <= Y) und P(X < Y). iIh greife mal die Idee von dir auf, dass X den Wert x annehme, dann würde ja so etwas wie $\begin{eqnarray} P(Y < x) = \int \! f_Y(x) \, dx \end{eqnarray}$ ergeben, aber das gilt ja jetzt nur für einen konkreten Wert von X. Ich versteh auch leider nicht genau, was mir der zweite Hinweis von dir bringen soll Meinst du das die Wahrscheinlichkeit das X = x (also P(X = x)) genauso wahrscheinlich ist wie X = 1-x (also P(X = x) = P(X = 1-x))? Und wenn ja was hilft mir das?
09.01.2012, 19:04	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist das differential $\begin{eqnarray} \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \mathrm{d}y \end{eqnarray}$ ? Mein zweiter Hinweis war nur Veranschaulichung, zum ausrechnen taugt der weniger. Wenn du rechnerisch rangehen willst, betrachte die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} D=Y-X=Y+(-X) \end{eqnarray}$ , die Summe zweier gleichverteilter Zufallsvariablen ist. Welche Verteilung besitzt $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ dann?

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