dritter isomorphiesatz

07.01.2012, 12:57

Velor92

dritter isomorphiesatz

Meine Frage:
Sei V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U_1,U_2 \end{eqnarray*}$ Untevektorräume von V
mit $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_2 \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (V/U_1)/(U_2/U_1)\cong V/U_2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee basiert auf dem Homomorphiesatz

Ich habe eine Abbildung gebildet mit $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V/U_2<br /> v \mapsto v+U_2 \end{eqnarray*}$

f ist injektiv, denn $\begin{eqnarray*} kerf=U_2 \end{eqnarray*}$ weil f K-linear ist.
f ist aber auch surjektiv weil die abbildung $\begin{eqnarray*} f_2: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Dann habe ich die Abbildung $\begin{eqnarray*} <br /> f_3: V/U_1 \rightarrow V/U_2<br /> v+U_1 \mapsto v+U_2 = v \mapsto v+U_2 \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Also ist $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ auch surjektiv weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch surjektiv ist.

Meine Frage ist nun ob das soweit richtig ist denn wenn das soweit stimmt muss ich nur noch den Isomorphiesatz anwenden und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (U_2/U_1)= ker f_3 \end{eqnarray*}$ ist und dann die Behauptung daraus folgern

07.01.2012, 13:21

jester.

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RE: dritter isomorphiesatz

Zitat:

Original von Velor92
f ist injektiv, denn $\begin{eqnarray*} kerf=U_2 \end{eqnarray*}$ weil f K-linear ist.

f ist injektiv, wenn sein Kern Null ist.

f ist aber sicher surjektiv (es ist der sogenannte kanonische Epimorphismus).
$\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ hast du doch gar nicht angegeben. Nicht jede Abbildung von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist surjektiv. Nimm etwa die Nullabbildung.

Die Idee, $\begin{eqnarray*} V/U_1 \to V/U_2, ~ v+U_1 \mapsto v+ U_2 \end{eqnarray*}$ anzuschauen ist aber richtig. Dabei ist jedoch die Wohldefiniertheit nachzuweisen, schließlich bildest du Restklassen ab. Dann musst du in der Tat nur noch nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} U_2/U_1 \end{eqnarray*}$ der Kern ist. Die Surjektivität ist klar.

07.01.2012, 14:11

Velor92

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okay wie zeigew ich denn die wohldefiniertheit

Kann ich das so machen: $\begin{eqnarray*} a,b,c \in v+U_1 \end{eqnarray*}$

reflexivität: $\begin{eqnarray*} a-a=0 \in v+U_2 \end{eqnarray*}$
symmetrie: $\begin{eqnarray*} a-b \in U_1 und -(a-b) \in v+U_2 \end{eqnarray*}$
transitivität : $\begin{eqnarray*} aus (a-b) + (b-c) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a-c \in v+U_2 \end{eqnarray*}$

07.01.2012, 21:56

jester.

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Zitat:

Original von Velor92
Kann ich das so machen: $\begin{eqnarray*} a,b,c \in v+U_1 \end{eqnarray*}$

Was soll denn $\begin{eqnarray*} ...\in v+U_1 \end{eqnarray*}$ bedeuten? Und was haben Reflexivität, Symmetrie und Transitivität damit zu tun?

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} v+U_1 = v' + U_1 \Rightarrow f_3(v+U_1)=f_3(v+U_2) \end{eqnarray*}$ , d.h. die Abbildung funktioniert für jede Wahl eines Vertreters einer Restklasse aus $\begin{eqnarray*} V/U_1 \end{eqnarray*}$ .

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