Beweise zu Fibonaccizahlen

07.01.2012, 13:00

lelalin-ersti

Beweise zu Fibonaccizahlen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe einige Startschwierigkeiten bei den folgenden Aufgaben:
1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n f_{2k-1} = f_{2n} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n f_{k} ^{2} = f_{n} f_{n+1} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{f_{n} }{2^{n} } = 2 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f_{1} := f_{2} := 1 ; f_{n+2} := f_{n+1} + f_{n} , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Also, ich dachte mir, dass man die Aufgaben wahrscheinlich mit Induktion lösen muss.

IA: n=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 f_{2*1-1} = f_{2*1} \end{eqnarray*}$
1 = 1

IV ist ja in der Angabe, aber wie gehts dann weiter? Ich bin auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 f_{2k-1} = \sum\limits_{k=1}^n f_{2k-1} + f_{2(n+1)-1} = f_{2n} + f_{2n+1} \end{eqnarray*}$
(Über dem Summenzeichen im 1. Schritt sollte n+1 stehen)
ist der letzte Schritt das gleiche wie $\begin{eqnarray*} f_{2n+2} \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2012, 13:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von lelalin-ersti
ist der letzte Schritt das gleiche wie $\begin{eqnarray*} f_{2n+2} \end{eqnarray*}$ ?

Aber ja! Was kennzeichnet denn die Rekursion der Fibonacci-Folge? Jedes Glied ist gleich der Summe der beiden vorhergehenden Glieder, und das ist hier auch der Fall bei der Summe des 2n-ten und (2n+1)-ten Gliedes.

07.01.2012, 13:47

lelalin-ersti

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Achso!!! Ich kann also 2n := n definieren und dann steht da:
$\begin{eqnarray*} f_{n+1} + f_{n} \end{eqnarray*}$

oder?

Bei der 3. Aufgabe komm ich auch nicht weiter. Darf ich eigentlich annehmen, dass die 3. Aufgabe das gleiche ist wie:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n \frac{f_{n} }{2^{n} } \end{eqnarray*}$

hilft mir das weiter?

07.01.2012, 14:15

HAL 9000

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Das ist korrekt. (Ein paar Indizes musst du aber korrigieren: k und n)

Wenn man überhaupt nicht mehr weiter weiß, kann man ja folgendes machen:

Man schaut sich die Partialsumme $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \frac{f_{n}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$ für die ersten Werte $\begin{eqnarray*} N=1,2,3,\ldots \end{eqnarray*}$ an bis man auf eine Gesetztmäßigkeit kommt. Hat man diese gefunden, dann kann man die (hoffentlich) per vollständiger Induktion beweisen...

07.01.2012, 14:25

lelalin-ersti

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Sollte ich vielleicht nachweisen, dass die Reihe monoton fallend ist und beschränkt 2?? Hätte ich das dann nachgewiesen?

07.01.2012, 14:28

HAL 9000

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Nein, wie ich geschrieben habe: Ich dachte an eine explizite Darstellung der Partialsumme. Wie ich gerade überprüft habe, ist das auch hier gut möglich.

07.01.2012, 14:50

lelalin-ersti

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Irgendwo hackt es noch...

Ich hab mir mal die Partialsumme angeschaut:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \frac{1}{8} ... \end{eqnarray*}$

mir ist aufgefallen, dass die Werte immer kleiner werden, jedoch positiv bleiben. So bin ich drauf gekommen, die monotonie nachzuweisen.

Die Darstellung der Partialsumme würde so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{f_{k} }{2^{k} } = \sum\limits_{k=1}^n \frac{f_{k-1} +f_{k-2} }{2^{k} } \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem Holzweg? verwirrt

07.01.2012, 14:53

HAL 9000

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zum letzten mal...
Ich rede von konkreten Werten von $\begin{eqnarray*} s_N := \sum\limits_{n=1}^N \frac{f_{n}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$ für die ersten paar $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Wie sehen die aus, bzw. genauer noch die Differenz zum mutmaßlichen Reihenwert 2, also der "Reihenrest" $\begin{eqnarray*} 2-s_N \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2012, 15:12

lelalin-ersti

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Die konkreten Werte von $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ für die ersten paar N:
N=5
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{b8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} = \frac{43}{32} \end{eqnarray*}$

& der "Reihenrest wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{43}{32} = \frac{21}{32} \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, aber ich hab keine Ahnung wie ich damit etwas beweisen soll....

07.01.2012, 15:20

HAL 9000

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Das ist nur $\begin{eqnarray*} 2-s_5 \end{eqnarray*}$ . Mach dasselbe doch auch mal für 1 bis 4, und wenn das nicht reicht für 6 usw.

Zitat:

Original von lelalin-ersti
Tut mir leid, aber ich hab keine Ahnung wie ich damit etwas beweisen soll....

Ich habe oben bereits betont, dass das nichts beweist, sondern dass man damit erstmal auf eine beweiswürdige Vermutung kommt. Aber wenn du keine Geduld bzw. kein Vertrauen hast, dann lass es eben bleiben. böse

P.S.: Geniale Ideen fliegen einem nicht immer nur zu, manchmal sind sie auch das Ergebnis geduldiger Arbeit: Johannes Kepler gelangte erst durch die Auswertung hunderter, ja tausender astronomischer Daten (ohne heutige Rechenhilfsmittel!!!) auf die nach ihm benannten Keplerschen Gesetze. So aufwändig ist es hier nicht, aber manche jammern eben schon, wenn sie nur fünf, sechs Werte berechnen sollen...

07.01.2012, 15:41

lelalin-ersti

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Ok. Ich hab das jetzt von $\begin{eqnarray*} s_{1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} s_{8} \end{eqnarray*}$ durchgerechnet und jedesmal $\begin{eqnarray*} 2 - s_{n} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

2-s(1) = 1,5
2-s(2) = 1,25
2-s(3) = 1
2-s(4) = 0,81
2-s(5) = 0,656
2-s(6) = 0,531
2-s(7) = 0,43
2-s(8) = 0,35

Meine Vermutung: Das ganze geht gegen Null, der Graph fällt monoton, und ist beschränkt. Kann ich damit arbeiten?

Geduld hab ich eine Menge smile

aber eben auch viele Fragen smile

und da ich viele Fragen habe, habe ich mich an ein Forum gewendet smile

indem Fragen vielleicht beantwortet werden smile

und man Hilfe bekommt smile

Danke für deine Hilfe schonmal!! smile

07.01.2012, 15:47

HAL 9000

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Es ist zum Verzweifeln: Bitte die exakten Werte als Brüche, so wie du es bei $\begin{eqnarray*} 2-s_5 \end{eqnarray*}$ gemacht hast. Nur so hast du eine Chance, die Gesetzmäßigkeit zu erkennen.

Zitat:

Original von lelalin-ersti
Geduld hab ich eine Menge smile

aber eben auch viele Fragen smile

und da ich viele Fragen habe, habe ich mich an ein Forum gewendet smile

indem Fragen vielleicht beantwortet werden smile

und man Hilfe bekommt smile

Ich hatte bereits 14:15 den Plan genannt, mit dem man diese Aufgabe knacken kann. Leider scheint er dir nicht zu gefallen, weil du beständig davon abdriftest. Es ist ja nicht so, dass ich auf meinen Weg bestehe, leider sehe ich aber bei dir keine Ideen, die auch nur im mindesten erfolgversprechend aussehen, sonst würde ich die unterstützen.

07.01.2012, 17:22

HAL 9000

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Ich betrachte das hier erlebte mal als gescheiterten Versuch, die auf Nennung der Partialsummenformel

$\begin{eqnarray*} s_N = \sum\limits_{n=1}^N \frac{f_{n}}{2^{n}} = 2 - \frac{f_{N+3}}{2^N} \end{eqnarray*}$

vermutlich folgende Frage "wie kommt man darauf" gleich von vornherein zu vermeiden. Aber jetzt ist auch mir die Geduld ausgegangen, um jeden Schritt zu betteln.

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