Standardskalarprodukt

07.01.2012, 12:13	Juliana	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardskalarprodukt Meine Frage: also ich habe das Standardskalarprodukt in R^k gegeben u soll dies nun beweisen. xy =< <x1, ... xk>, <y1, ..., yk> > := [latex]\sum\limits_{i=1}^k x_{i}y_{i}[\latex] ich muss jetzt beweisen, dass es tatsächlich ein skalarprodukt ist Meine Ideen: zunächst die bilinearität, symmetrie und positivität. ist es hier jetzt am geschicktesten alles in eine norm umzumünzen u damit dann zu rechnen? mir fehlt leider der ansatz. Ich hab aber alle drei Definitionen im Kopf, kann mit ihnen nur nicht richtig umgehen
07.01.2012, 12:38	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Es in eine Norm ummünzen ist sogar ziemlich ungeschickt, denn dann müsstest du noch zeigen dass die Norm dieses Skalarprodukt induziert. Sprich: du müsstest trotzdem die Skalarprodukt Eigenschaften nachrechnen. Schreib doch mal auf, was genau du hier für z.B. die Symmetrie beweisen sollst. P.S. Vektoren schreibt man in runden Klammern, nicht in spitzen.
07.01.2012, 15:18	Juliana	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei der symmetrie wäre zu beweisen, dass (x,y) = (y,x) im endeffekt bräuchte ich hier dann nur schreiben: (x1, ... xk)+(y1, ...,yk) = (x1, ... xk)+(y1, ...,yk) -[(x1, ... xk) + (x1, ... xk)] wenn ich dann das assoziativgesetz anwende kann ich umklammern u bekomm somit: (x1, ... xk) -(x1, ... xk)+[ (y1, ...,yk)+ (x1, ... xk)] der vordere therm löst sich auf u ich hab dann (y,x) da stehen. ist das richtig so???? und positivität wäre dann, dass (x,x) >gleich 0 ist bzw nur dann 0 ist, wenn es sich um einen nullvektor handelt.
07.01.2012, 15:27	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin verwirrt: - Warum ist das Skalarprodukt auf einmal (x,y); vorher war´s xy=<x,y> ? - Was soll das (x1, ... xk)+(y1, ...,yk) sein? Das ist die Addition zweier Vektoren und damit wieder ein Vektor keine Zahl. - (x1, ... xk)+(y1, ...,yk) = (x1, ... xk)+(y1, ...,yk) -[(x1, ... xk) + (x1, ... xk)] ? Ich schreibs mal in kurz: x+y=x+y-[x+x] (=x+y-2x=y-x) . Das gilt i.A. nicht und hat mit der Aufgabe kaum was zu tun. Verwende die Definition: $\begin{eqnarray} xy =< x, y > := \sum\limits_{i=1}^k x_{i} y_{i} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe ist doch gerade zu zeigen, dass diese Defintion ein Sklaraprodukt definiert. Der name Skalarprodukt kommt auch nicht von ungefähr, denn ein solches ist ein Produkt das aus 2 Vektoren ein Skalar macht. Im Übrigen heißt es Term, ohne h genauso wie bei nämlich.
07.01.2012, 15:32	Juliana	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt bin ich auch verwirrt. die definition habe ich, soll ich jetzt beweisen, dass xy := $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k x_{i}y_{i} \end{eqnarray}$ ist. also einfach von links nach rechts und umgekehrt rechnen u das dann beweisen. danke für den hinweis mit dem h
07.01.2012, 15:38	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. du sollst beweisen dass diese Abbildung: $\begin{eqnarray} <.,.> : \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R} , (x,y)\mapsto \sum_{i=1}^k x_{i}y_{i}=:<x,y>=xy \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt ist. Genauso wie du hoffentlich schon oft bewiesen hast, dass eine Abbildung linear oder ähnliches ist. Und eine Definition kann man nicht beweisen.
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