100. Glied einer Folge

07.01.2012, 13:17	Sidekick	Auf diesen Beitrag antworten »
100. Glied einer Folge Hallo, meine Tochter hat folgende Aufgabe zu lösen und wir kommen alle nicht weiter. Wir haben die Folge: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... Wir haben schon herausgefunden, dass sich die Differenzen der Glieder immer um 2 erhöhen (war auch nicht schwer) . Im Internet haben wir jetzt auf einer Seite mit Zahlenfolgen die Formel a(n)=a(n-1)+2n gefunden. Jetzt hilft uns das nicht wirklich weiter. Wie kann ich denn damit das 100. Glied dieser Folge berechnen? Und kennt jemand vielleicht eine Internetseite, auf der solche Folgen und deren Berechnung verständlich(!)* erklärt werden? Das Mathebuch hilft uns da nicht wirklich weiter. (7. Klasse Gymnasium, Bayern) Wäre schön, wenn uns jemand einen Denkanstoß geben könnte. Danke.
07.01.2012, 13:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 100. Glied einer Folge 7.Klasse ist natürlich etwas problematisch früh. Eine systematische Darstellung, wie man von a(n)=a(n-1)+2n zur direkten (expliziten) Darstellung von a(n) gelangt, endet wahrscheinlich in einem Verzweiflungsschrei "viel zu schwer" ... Versuch stattdessen doch mal, die Zahlen der Folge als Produkte darzustellen: 2 = 1 2 6 = 2 * 3 ...
07.01.2012, 13:39	Sidekick	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Gehe ich recht in der Annahme, dass das 100. Glied dann 100 * 101 wäre? Auf die Frage: Nach welchem Gesetz wird die Folge gebildet? Beschreibe Sie durch einen Term hätte meine Tochter jetzt T(x) = X * (X+1) geschrieben. Stimmt das dann so? Hat das einen bestimmten Namen, weil nach einem Gesetz gefragt wurde? Müssen Schulkinder eigentlich überall auf so etwas selbst kommen? Wird so etwas in Gymnasien vorausgesetzt? (Sorry, ich läster schon wieder)
07.01.2012, 13:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu sage ich mal nichts, da ich grundsätzlich nichts von Aufgaben halte, wo aus Anfangsstücken einer Folge ohne weitere inhaltliche Erläuterungen die Gesamtfolge rekonstruiert werden soll.
04.01.2013, 14:59	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_x = x \cdot (x+1) \end{eqnarray}$ ist richtig. Wenn du jetzt das 100. Glied berechnen willst, setzt du für x einfach 100 ein. Also war deine Vorgehensweise richtig. Und diese Formel reicht auch als "Gesetz" (auch genannt "explizite Zuordnungsvorschrift"). Du hättest es auch mit der Formel $\begin{eqnarray} a_n=a_{n-1}+2n \end{eqnarray}$ machen können. Aber das ist eine "rekursive Zuordnungsvorschrift", d.h. du haettest alle 99 Glieder vorher berechnen müssen, was ein enormer Aufwand wäre. Insofern ist $\begin{eqnarray} T_x = x \cdot (x+1) \end{eqnarray*}$ eindeutig die bessere Wahl.
05.01.2013, 14:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt das Verfahren der Differenzfolgen. Wenn die n-te Differenzfolge konstant = d ist, kommt man durch durch zweimalige Integration auf das allgemeine Polynom n-ten Grades, welches das Bildungsgesetz der Folge ist: Folge: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... 1. Diff: 4, 6, 8, 12, ... 2. Diff: 2, 2, 2, 2, ... d = 2 a'(n) = 2n + b a(n) = n² + bn + c b und c berechnet man durch Einsetzen von bekannten Gliedern der Folge: 2 = 1 + b + c 6 = 4 + 2b + c -------------------- --> b = 1, c = 0 --> a(n) = n² + n Auch ohne Integration kann gerechnet werden, dann setzt man an: a(n) = an² + bn + c und braucht eben drei Gleichungen (mittels dreier bekannten Glieder) für a, b, c (a = 1, b = 1, c = 0) mY+
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