Vollständige Induktion

07.01.2012, 14:00

knuffi88

Vollständige Induktion

Hi zusammen,

ich habe eine Frage zur Vollständigen Induktion.
Ich verstehe die Vorgehensweise und die Anwendung der Induktionsannahme auf den Indutionsschluss. Allerdings komme ich jetzt durch geeignetes Umstellen die auf die Gegenseite. Wäre super, wenn ihr mir da helfen könntet:

Die Aufgabe lautet für n Element der natürlichen Zahlen incl. 0:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{4} = \frac{1}{30}(n+1)(2n+1)(3xn{2}+3n-1) \end{eqnarray*}$

Meine Lösung bisher:

...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)+(n+1)^{4} \end{eqnarray*}$ ... so umstellen, dass man auf folgendes kommt: ... $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30}(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^{2}+3(n+1)-1) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank und Grüße,
Sandra

07.01.2012, 15:12

wdposchmann

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RE: Vollständige Induktion
Hi,

Zitat:

Original von knuffi88
Die Aufgabe lautet für n Element der natürlichen Zahlen incl. 0:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{4} = \frac{1}{30}(n+1)(2n+1)(3xn{2}+3n-1) \end{eqnarray*}$

Erklär mal bitte, was du mit $\begin{eqnarray*} 3xn2 \end{eqnarray*}$ meinst. Wenn ich es als $\begin{eqnarray*} 3n^2 \end{eqnarray*}$ interpretiere, stimmt die Behauptung lediglich für n=1.

Gruß

07.01.2012, 17:15

knuffi88

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sorry, da ist mir was mit latex durcheinander gekommen. es fehlt auch noch ein n.
hier nochmal die richtige Vermutung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße,
Sandra

07.01.2012, 17:34

wdposchmann

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RE: Vollständige Induktion
Ok, denk, dass du diesmal k^2 statt k^4 in der Summe geschrieben hast, war ein Versehen, denn mit k^4 stimmt es ja jetzt. Du liegst ja jetzt soweit schon richtig und fragst dich, wie du auf folgendes kommst:

Zitat:

Original von knuffi88
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)+(n+1)^{4} \end{eqnarray*}$ ... so umstellen, dass man auf folgendes kommt: ... $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30}(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^{2}+3(n+1)-1) \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich durch geschicktes Umstellen etc. sicher möglich aber in diesem Fall kannst du es dir einfach machen. Du hast ja mit deiner linken Seite begonnen und bist bis zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)+(n+1)^{4} \end{eqnarray*}$ gekommen, was auch richtig ist. Das kannst du jetzt alles ausmultiplizieren und müsstest dann auf ein n^5 Polynom kommen.

Des Weiteren willst du ja erreichen, dass deine rechte Seite $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30}(n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^{2}+3(n+1)-1) \end{eqnarray*}$ ergibt. Wenn du jetzt also deine rechte Seite, die du bekommen willst, auch ausmultiplizierst und das gleiche Polynom wie von der linken Seite aus bekommst, dann hast du die Behauptung bewiesen.

Hoffe, das war verständlich.

Gruß

07.01.2012, 18:06

knuffi88

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Hi,
danke für deine Antwort. Ja mist, muss k^4 heißen. brauch mit latex noch bisserl übung.
hab grad angefangen eine seite auszumultiplizieren, aber das wird ja wirklich sehr lang...
mit umstellen hast du keine idee? weil in der uni hatten wir bis jetzt immer so aufgaben, wo man durch umstellen und ausklammern aufs ergebnis/bzw. die gegenseite kommen konnte.

ich versuch mal das mit dem ausmultiplizieren weiter.

LG, Sandra

07.01.2012, 19:31

Arbmosal

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Naja da du ja weißt worauf du kommen willst kannst du versuchen nach und nach Polynomdivision durchzuführen.

Aber du kannst auch einfach hingehen und behaupten: Nach umformen ergibt

n(n+1)(2n+1)(3n*n+3n-1)+(n+1)^4 = (n+1)(n+2)(2n+2)(3(n+1)+3(n+1)-1)

und diese Behauptung beweist du dann durch stures ausmultiplizieren von beiden seiten und dann einfach jeden einzelnen Term vergleichen bzw kürzen.

Das ist auch was wdposchmann gemeint hat, zumindest habe ich ihn so verstanden.

Es ist oft ziemlich nützlich sich notfalls einfache Hilfssätze zu suchen die mit dem ergebnis äquivalent sind, oder aus denen das Ergebnis unmittelbar folgt.

Gruß

07.01.2012, 21:21

knuffi88

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Polynomdivision ist mir auch ein begriff:
z.b. kann man den hinteren komplizierteren term der rechten seite mit einer polynomdivision in diese Form bringen: (n+1)(3n+5)
aber egal wo ich versuche polynomdivisionen durchzuführen, komme ich nicht annähernd an den linken ausdruck.
ausmultiplizieren wäre doch sehr aufwendig bei so vielen Faktoren, deshalb würde mich der andere lösungsweg reizen =)

08.01.2012, 13:12

wdposchmann

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Zitat:

und diese Behauptung beweist du dann durch stures ausmultiplizieren von beiden seiten und dann einfach jeden einzelnen Term vergleichen bzw kürzen.

Das ist auch was wdposchmann gemeint hat, zumindest habe ich ihn so verstanden.

Ja genau, das meinte ich. Klar, ist nicht die eleganteste Art aber man kommt eben auf das Ergebnis. Und ich denke bei solchen Induktionsaufgaben kommt es eigentlich immer drauf an, dass man den Induktionsschrit versteht und anwendet und das hast du ja gemacht. Der Rest ist dann meisten nur noch Rechnen.

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