Gerade erstellen

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07.01.2012, 15:04	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade erstellen Ich bin mir gerade nicht sicher, bei folgender Sache: Eine Gerade h soll bestimmt werden, die einen Punkt A enthält und orthogonal zu einer Gerade g stehen soll. Also würde ich A als Stützvektor nehmen - nur wie kriegt man den Richtungsvektor von h? Dieser müsste ja senkrecht zum Richtungsvektor von g sein. Kann man den Richtungsvektor von h so bestimmen, dass er mit dem Richtungsvektor von g skalarmultipliziert null ergibt?
07.01.2012, 17:09	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so kann man das machen. Im Zweidimensionalen ist die Lösung eindeutig, im Dreidimensionalen nicht.
08.01.2012, 14:29	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also die Geraden befinden sich im Raum. Ich habe mir das jetzt so überlegt: den Richtungsvektor der Geraden g skalarmultipliziert mit dem unbekannten Vektor, also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0 = 1x+3y+4z \end{eqnarray*}$ Was mich nur verwirrt, ist, dass man x,y und z völlig frei wählen kann - und das kommt mir irgendwie... sagen wir mal unkorrekt vor. Ist das denn wirklich so richtig, wie ich das hier mache? Danke für Hilfe
08.01.2012, 14:34	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist schon richtig so, ich schrieb ja, dass es im Dreidimensionalen nicht nur eine Möglichkeit geben wird.
08.01.2012, 15:03	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt x=0; y=-4 und z=3 genommen. Die Gerade g lautet: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und der Punkt A (6/13/-2). Die Gerade h, die ich mir dazu überlegt habe, ist: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 6 \\ 13 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigentlich sollten die Geraden ja senkrecht sein... nur leider komme ich immer auf windschief...
08.01.2012, 15:10	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Senkrecht und windschief schließt sich doch nicht aus...
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08.01.2012, 15:17	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, na gut, stimmt, jetzt wo du es sagst, leuchtet es mir ein... Allerdings wird in der Aufgabe auch gesagt, dass die Geraden geschnitten sein sollen (hab ich nur noch nicht erwähnt, weil ich wie gesagt dachte, dass es mit senkrecht automatisch geschnitten ist, kleiner Denkfehler, hehe ) Aber es sollte doch gehen, wenn ich einen Richtungsvektor für h nehme, der linear abhängig zum Richtungsvektor von g ist, oder?!
08.01.2012, 15:25	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh damit wird das dann aber doch eine eindeutige (und nicht mehrdeutige) Angelegenheit. Den Zusammenhang mit der linearen Abhängigkeit verstehe ich nicht. Das würde doch eher zu Parallelität (oder Identität) der Geraden sprechen. Ich würde unter diesem neuen Sachverhalt dann mit dem Skalarprodukt ansetzen: $\begin{eqnarray} \vec{AS} \cdot \vec{r_g}=0 \end{eqnarray}$ wobei S ein allgemeiner Punkt auf g ist.
08.01.2012, 16:08	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, das mit der LA hab ich mit dem Normalenvektor von Ebenen verwechselt... Allerdings versteh ich nicht so ganz, was du mit $\begin{eqnarray} \vec{AS} \end{eqnarray}$ meinst. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-x \\ 6-y \\ 2-z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?? (Stützvektor von g als S) Nur dann hätte man ja im Skalarprodukt auch keine eindeutige Lösung...?
08.01.2012, 16:14	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
S ist ein allgemeiner Punkt auf g und lautet S(1+t\|6+3t\|2+4t). Punkt A ist ja bereits gegeben und rg ist der Richtungsvektor von g. Die Idee dahinter ist, dass sich g und h ja in irgendeinem Punkt S auf g (senkrecht) schneiden werden bzw sollen. Kennt man nun neben A auch noch einen weiteren Punkt (also S) der gesuchten Geraden h, dann hat man ja alles was das Herz begehrt.
08.01.2012, 16:55	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt, krieg ich immer noch nichts Richtiges raus... Ich hab jetzt mit dem Skalarprodukt t ausgerechnet und bin dabei auf t=5/13 gekommen. Diesen Wert habe ich in g eingesetzt, um auf einen Punkt für h zu kommen. Oder ist das falsch? Denn bei mir kommt nachwievor windschief raus...
08.01.2012, 17:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Wert für t stimmt. Nun in S einsetzen und aus A und S eine Geradengleichung machen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe entsteht nach Anpassung des Richtungsvektors: $\begin{eqnarray} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 6 \\ 13 \\ -2 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 19 \\ -18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
08.01.2012, 18:32	Geminio	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, auf das Ergebnis komme ich jetzt auch. Ich bedanke mich vielmals für deine Hilfe!!! Viele Grüße
08.01.2012, 19:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass du es hinbekommen hast.

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