Eigenschaften von Funktionen

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Medi Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Funktionen
Hallo zusammen,

es gibt mal wieder ein hübsches Tabellchen, was ich ausfüllen muss.
Einige Funktionen hab ich hinbekommen, aber es gibt auch welche, bei denen ich nicht weiter weiß.

Gesicht sind:
Db
Wb
NS
Sx
Sy
Monotonie
Symmetrie
Verhalten im Unendlichen

Die 3, bei denen ich hänge:







------------------------------------------------

Gleich mal zu ersten:


Db:


Wb:


Sy:


Monotonie:
im gesamten Db: streng monoton fallend

Symmetrie:
/

Verhalten im Unendlichen:
--> -->
--> -->

NS und Sx bekomm ich hier aber gar nicht hin ...
Ist von der 1. Funktionsgleichung alles richtig?
Und wie bestimme ich das, was fehlt?

Liebe Grüße,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Medi Wink

Zitat:
Monotonie:
im gesamten Db: streng monoton fallend


Das stimmt noch nicht....

Hattet ihr schon Ableitungen ?

Zitat:
--> -->


Das stimmt leider auch nicht.

Versuche mal die höchste Potenz auszuklammern nachdem in dem Term die binomische Formel aufgelöst und ausmultipliziert hast.

Die Nullstellenberechnung geht hier (wenn ich mich jetzt nicht total vertue) nur mit einem Näherungsverfahren...

Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Björn, schön das du mir helfen willst smile









So hatte ich das gemacht ..

LG,
Medi

P.S.: Ableitungen hatten wir noch nicht.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Zitat:


Hier hast du beim Bruch Zähler und Nenner vertauscht Augenzwinkern

Der Rest der Umformung stimmt, nur hättest du noch in jeder Zeile ein gleich null dahinter setzen müssen.

Die Nullstellen dieses Terms sind aber mit algebraischen Methoden unmöglich zu bestimmen und erraten kann man diese Nullstelle beim besten Willen auch nicht. Deshalb kann man hier nur ein Näherungsverfahren wie z.B. das Newtonverfahren oder Regula Falsi anwenden, was dir aber wohl nicht bekannt sein dürfte (berichtige mich wenn ich mich irre smile ).

Wie man ohne Kenntnisse von Ableitungen hier Aussagen über die Monotonie machen soll ist mir im Moment auch nicht ersichtlich verwirrt

Bleiben noch zwei Fragen meinerseits:

1. Habt ihr schonmal eine vergleichbare Aufgabe im Unterricht besprochen ?

2. Ist dir der Limes (Grenzwert) ein Begriff ?

Der Graph zu dieser Funktion sieht jedenfalls so aus:



Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwann krieg ich noch ne Krise mit der Frau ...

1. Eigentlich nicht ...
2. Nein ist mir kein Begriff ...

Also so:
?

LG,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
?


Statt 1,5 muss es 2,25 heissen....

Wenn man diese Gleichung nach x auflösen KÖNNTE, dann würde man damit die Nullstelle(n) berechnen.

Aber wie gesagt, das ist mit deinem Wissensstand bis jetzt wohl noch nicht möglich, weshalb ich diese Aufgabe dann eher unsinnig finde Augenzwinkern

Wahrscheinlich sollte die Aufgabe eher so aussehen, dass man nachher eine Nullstelle erraten kann und dann durch Polynomdivision als Zwischenschritt die weiteren Nullstellen herausfindet...aber wer weiss ^^

Aus der Tatsache, dass ihr noch nicht den Begriff Limes verwendet habt schließe ich dann mal, dass ihr das Verhalten im Unendlichen durch Einsetzen besonders großer Werte für x in die Ausgangsfunktion vermutet bzw euch den Graphen anhand einer Wertetabelle skizziert und dann daraus Schlüsse zieht...

Stimmt das so in etwa oder wie macht ihr das immer ?

Gruß Björn
 
 
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Björn,

ich find die Nullstelle aber nich und kann deshalb auch keine Ploynomdivision machen.

Mit dem Verhalten im Unendlichen verfahren wir so, dass wir es aufzeichnen und dann eben ablesen.

LG,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ch find die Nullstelle aber nich und kann deshalb auch keine Ploynomdivision machen.


Jap...genau das ist das Problem, denn wenn das bei einer solchen Funktion nicht klappt kannst du es einfach nicht lösen.....du kannst höchstens das Intervall auf der x-Achse eingrenzen, worin diese Nullstelle liegen müsste, da du ja den Graphen vor dir hast...

Mein Programm sagt mir, dass die Nullstelle bei x=2,1776507 liegt Big Laugh

Zitat:
Mit dem Verhalten im Unendlichen verfahren wir so, dass wir es aufzeichnen und dann eben ablesen.


In Ordnung.... smile

Dann schau dir nochmal den Graphen an und überdenke nochmal deine Aussage über x gegen minus unendlich.

Bezüglich der Monotonie müsstest du dann eigentlich auch sehen, dass der Graph erstmal bis zu seinem Tiefpunkt fällt, dann wieder ansteigt bis zu seinem Hochpunkt und dann wieder weiter fällt -----> also nicht durchgängig fallend

Zur genauen Bestimmung der Monotonieintervalle, von wo bis wo der Graph nun konkret steigt oder fällt braucht man die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) des Graphen der Funktion, welche man aber hier nur durch Ableitungen herausfinden kann.

Und da ihr das noch nicht hattet würde ich vorschlagen, dass du jetzt nur noch Bezug auf das Verhalten im Unendlichen nimmst und den Rest mal offen lässt bzw nur Vermutungen in diese Zeile schreibst (Vermutung bei NS: Am Graphen lässt sich erkennen, dass dessen Schnittstelle mit der x-Achse irgendwo zwischen x=... und x... liegen muss)

Also lieber den nächsten Aufgaben zuwenden smile

Übrigens:

Zitat:


Soll das x nicht auch noch mit in die Klammer ?

Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach je ..
sowas in der Art?

x \geq 1 str m. fallend
x \geq 1,5 str. m. steigend
x \geq 1,6 str. m. fallend

ich kann grad nich nachdenken .. -.-

Zu der anderen Gleichung, nein, so stands an der Tafel ...

LG,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja wie gesagt....da ihr noch nicht ableiten könnt wären das hier lediglich geratene Monotonieintervalle....also würd ich das erstmal lassen und dann mal schauen was euete Lehrerin da so sehen wollte.

Wie siehts dann mit dem Verhalten für x gegen minus unendlich aus ?

*nichtlockerlass* Augenzwinkern

Ansonsten kannst du ja mal posten wie weit du bis jetzt mit den anderen Funktionen gekommen bist =)

Ich werde gegen 16 Uhr wieder reinschauen.

Bis nachher smile

Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Na ... x --> - unendlich; f(x) --> - unendlich
Oder?

-------------

cos (1/2)x

Db:


Wb:


NS:
na ja ... (in Abständen von ) ...

Sx:



Sy:


Monotonie:
... ?

Symmetrie:
axialsymmetrisch zur Y-Achse

V. im Unendlichen:
--> -->

LG,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Na ... x --> - unendlich; f(x) --> - unendlich
Oder?


Eben nicht....wenn das der Fall wäre müsste der Graph ja aus dem minus unendlichen kommen....also links oberhalb der x-Achse verlaufen.

Schau doch nochmal den Graphen an, den ich vorhin geplottet hatte.
Verläuft dieser Graph denn zuerst oberhalb oder unterhalb der x-Achse ?

Jetzt zur nächstern Funktion:

Also wenn es so das steht : f(x)=cos(1/2)*x, dann ist der Graph zu dieser Funktion eine Ursprungsgerade mit der Steigung cos(1/2).

Ich denke es ist hier doch f(x)=cos(0,5*x) gemeint, denn sonst würde keine Kosinuskurve entstehen.

Das mit den Nullstellen hast du schon prima erkannt, folglich gibt es dann aber unendlich viele Nullstellen (es sei denn ihr sollt die Funktion nur in einem bestimmten Intervall betrachten), weshalb man das eher so schreiben muss:

NS:

mit

Dieses (2k-1) steht für alle ungeraden Faktoren vor pi.

Folglich muss man den konkreten Schnittpunkt mit der x-Achse, also Sx auch so ausdrücken, denn so wei es bei dir im Moment steht könnte man denken, dass es nur 2 Schnittpunkte gibt.

Zitat:
V. im Unendlichen:
--> -->


Da diese Funktion (wie auch alle anderen trigonometrischen Funktionen) eine wellenförmige Kurve als Schaubild hat nähert sich diese niemals einem bestimmten Wert oder geht eindeutig gegen unendlich oder minus unendlich. Deshalb kann man über das Verhalten im Unendlichen nichts Eindeutiges aussagen.

Zur Monotonie:

Was habt ihr denn schon alles zu trigonometrischen Funktionen gesagt?
Prinzipiell kann man wieder allgemeine Monotonieintervall aufstellen, was aber die Kenntnis über die Extrempunkte dieser Kurve voraussetzt oder zumindest, dass ich euch mal damit beschäftigt habt was solche periodischen Funktionen für charakteristische Eigenschaften haben...

Der Graph sieht so aus:



Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982

Eben nicht....wenn das der Fall wäre müsste der Graph ja aus dem minus unendlichen kommen....also links oberhalb der x-Achse verlaufen.

Schau doch nochmal den Graphen an, den ich vorhin geplottet hatte.
Verläuft dieser Graph denn zuerst oberhalb oder unterhalb der x-Achse ?


Menno ...
-x --> unendlich, (fx) --> + unendlich
und der rest dieser funktion?

Zitat:
Original von Bjoern1982
Jetzt zur nächstern Funktion:

Ich denke es ist hier doch f(x)=cos(0,5*x) gemeint, denn sonst würde keine Kosinuskurve entstehen.


Nu ja, es stand so da ... unglücklich

Zitat:
Original von Bjoern1982
NS:
mit


Oha ... und so wie ichs geschrieben hab gehts nich?
Immerhin hatten wir das so noch nie...

Zitat:
Original von Bjoern1982
Da diese Funktion (wie auch alle anderen trigonometrischen Funktionen) eine wellenförmige Kurve als Schaubild hat nähert sich diese niemals einem bestimmten Wert oder geht eindeutig gegen unendlich oder minus unendlich. Deshalb kann man über das Verhalten im Unendlichen nichts Eindeutiges aussagen.


Irgendwas muss ich ja hinschreiben ...?

Zitat:
Original von Bjoern1982
Zur Monotonie:

Was habt ihr denn schon alles zu trigonometrischen Funktionen gesagt?
Prinzipiell kann man wieder allgemeine Monotonieintervall aufstellen, was aber die Kenntnis über die Extrempunkte dieser Kurve voraussetzt oder zumindest, dass ich euch mal damit beschäftigt habt was solche periodischen Funktionen für charakteristische Eigenschaften haben...


Ich sag ja, unsere Lehrerin hat nen Knacks ...

LG,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verhalten des Graphen für x gegen minus unendlich stimmt jetzt Freude

Zitat:
Oha ... und so wie ichs geschrieben hab gehts nich?


Du meinst sicher das richtige...mathematisch würde man das eben so schreiben Augenzwinkern

Zitat:
Irgendwas muss ich ja hinschreiben ...?


Wie gesagt, eine eindeutige Aussage über das Verhalten des Graphen einer periodischen Funktion gibt es nicht...das würd ich dann auch einfach als kleines Sätzchen formulieren. Denn es wird aufgrund dieser Periodizität immer ein Wechsel der y-Werte zwischen 1 und -1 stattfinden...

Nochmal zur Sache mit der Monotonie:

Bei der Betrachtung des Graphen lässt sich ja erkennen, dass der Graph von einem Hochpunkt bis zum nächsten Tiefpunkt immer fällt und danach vom Tiefpunkt bis zum Hochpunkt wiederum steigt. Das kann man jetzt durchaus mathematisch formulieren....aber wenn ihr das noch nicht gemacht habt, dann weiss ich jetzt auch nicht in welcher Form ihr das jetzt machen müsst.

Ich habe gerade eine Tabelle in einem Mathebuch der Klasse 10 gefunden, in der allgemein beschrieben ist wie man die kleinsten bzw größten Funktionswerte einer trigonometrischen Funktion ausdrücken kann...
Ist halt jetzt die Frage ob eure Lehrerin das schon mit euch gemacht hat oder nicht.

Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das heute mal mit meiner Lehrerin grob und mit meiner Nachhilfe genau kontrolliert.^^
Vielen Dank für deine Hilfe! smile

Liebe Grüße,
Medi
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder gerne Medi Augenzwinkern

Wie ist es denn ausgegangen bzw was wollte deine Lehrerin denn da jetzt genau bei der Monotonie oder beim Verhalten im Unendlichen haben ?

Gruß Björn
Medi Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, bei der Kosinus?

cos (1/2x)

Verhalten im Unendlichen:
x --> + ;\infty f(x) --> \pm 1

Monotonie: /

LG,
Medi
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