Irreduzibel in F3

07.01.2012, 19:33	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel in F3 Hallo, ich soll folgendes Polynom auf Irreduzibiliät in F3 untersuchen $\begin{eqnarray} f(x)=x^4+x^2+x+1 \end{eqnarray}$ Durch Einsetzen der Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_3=\left\{-1,0,1\right\} \end{eqnarray}$ sehe ich $\begin{eqnarray} f(-1,0,1) \neq 0 \end{eqnarray}$ also zerfällt f auf alle fälle nicht in einen Linearfaktor und ein Polynom von Grad 3. Jetzt noch ob es möglicherweise in 2 Polynome von Grad 2 zerfällt. also $\begin{eqnarray} h(x)=x^2+ax+b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)= x^2+cx+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)h(x)=x^4+(c+a)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd \end{eqnarray}$ erhalte daraus 4 Gleichungen: $\begin{eqnarray} I) a+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II) ac+b+d=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} III)ad+bc=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} IV) bd=1 \end{eqnarray}$ betrachte nun zwei fälle 1. Fall: b=d=1 erhalte mit II $\begin{eqnarray} c= \pm 1 \end{eqnarray}$ und erhalte für c=1 mit Glecihung I und III einen Widerspruch und für c=-1 ebenfalls mit I und III 2. Fall: b=d=-1 erhalte c=0 aus II und dann Widerspruch mit I und III ist das so richtig? und kann ich für $\begin{eqnarray} \mathbb F_3=\left\{0,1,2\right\} \end{eqnarray}$ nehmen? Wär super wenn sich das mal jemand anschaun könnte. Vielen Dank! edit: bitte schieben in uni-mathe...
07.01.2012, 19:56	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Keinerlei Einwände. Und da $\begin{eqnarray} 2 \equiv -1 \mod 3 \end{eqnarray}$ kannst du natürlich auch beide Varianten für $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ benutzen.

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