Zeige 1/3(cosx) ist eine Kontraktion

07.01.2012, 20:14

Zadu

Zeige 1/3(cosx) ist eine Kontraktion

Hallo alle zusammen,

Habe bisher meinen AnaII kurs ganz gut im Griff nur bei dieser Übungsserie hakt es ziemlich.

Das konkrete Problem

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zeige dass $\begin{eqnarray*} f : x \in \mathbb R \mapsto \frac{1}{3} \cos(x) \end{eqnarray*}$

eine Kontraktion ist

Klar ist, soweit ich Definition richtig verstanden habe, dass ich für beliebige $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigen muss, dass

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{3}\cos(x) - \frac{1}{3} \cos(y) | \leq \lambda | x -y | \end{eqnarray*}$ gilt.

daran habe ich jetzt zwei Stunden herumgedoktort und keinen sinnvollen Ansatz gefunden

Währe dankbar für einen Hinweis

Gruß Tobias

07.01.2012, 20:21

HAL 9000

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Wende den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an.

07.01.2012, 20:43

Zadu

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Hej danke, dass ist ja elegant

Also

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{3} \cos(x) - \frac{1}{3} \cos(y) | = \frac{1}{3} | \cos(x) - \cos(y) | = \frac{1}{3} \sin(x_{0} )| y-x | \leq \lambda | x-y | \end{eqnarray*}$

Das gilt, da $\begin{eqnarray*} x_{0} \in (x,y) ; | sin(x_{0})| \leq 1 \end{eqnarray*}$

dann kann sagen $\begin{eqnarray*} \lambda := \frac{\sin(x_{0}) }{3-l} ; 0\leq l\leq 2 \end{eqnarray*}$

damit habe ich zwar die ungleichung bewiesen allerdings kenne ich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ noch immer nicht.

Kann man das noch geneuer finden?

07.01.2012, 20:48

HAL 9000

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Ich weiß jetzt nicht, woher das 3-l im Nenner kommt... Warum wählst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ basierend auf

Zitat:

Original von Zadu
$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{3} \cos(x) - \frac{1}{3} \cos(y) | = \frac{1}{3} | \cos(x) - \cos(y) | = \frac{1}{3} \sin(x_{0} )| y-x | \leq \lambda | x-y | \end{eqnarray*}$

07.01.2012, 20:53

Zadu

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Klar könnte ich machen,

Aber mit dem Wählen ist das so eine sache. Die Aufgabe geht nähmlich noch weiter. Da soll nähmlich der Fixpunkt gefunden werden und ich habe überlegt, ob es nicht genau ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so zusagen das korrekte gibt. Ich weis das klingt komisch aber ich bin ja auch neu im Thema

07.01.2012, 20:59

HAL 9000

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Wenn du mit dem korrekten $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das kleinste mögliche meinst: Das ist $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Für jedes kleinere $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nenne ich dir Werte $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , wo

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{3} \cos(x) - \frac{1}{3} \cos(y) \right| \leq \lambda | x-y | \end{eqnarray*}$

falsch ist. Augenzwinkern

07.01.2012, 21:04

Zadu

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Echt Cool
Aber warum

magst du kurz erklären?

07.01.2012, 21:06

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2},y=\frac{\pi}{2}-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , und dann $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$

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