Tragfähigkeit, Integral

07.01.2012, 23:36

Daniel3

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Tragfähigkeit, Integral

Hallo,

habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Zitat:

Der Querschnitt eines Stammes sei ein Kreis mit dem Radius a. Aus diesem Stamm werde ein Balken mit rechteckigem Querschnitt herausgeschnitten. Die Tragfähigkeit T eines solchen Balkens ist proportional der Breite b und dem Quadrat der Höhe h des Querschnittes. Bestimmen Sie die Form des Querschnittes, für den der Balken maximale Tragfläche besitzt.

Verstehe die Aufgabe nicht ganz. Was ist denn mit Tragfläche gemeint? Davor war ja noch von Tragfähigkeit die Rede.

08.01.2012, 10:57

Leopold

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Ich vermute, daß es sich um einen Druckfehler handelt und daß statt maximale Tragfläche maximale Tragfähigkeit gemeint ist.
Ansonsten ist das die klassische Extremwertaufgabe: $\begin{eqnarray*} b,h \end{eqnarray*}$ sind die Variablen, über die du die Tragfähigkeit $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst, ganz so, wie es in der Aufgabe erklärt ist (Hauptbedingung). Über eine Nebenbedingung für $\begin{eqnarray*} b,h \end{eqnarray*}$ kannst du dich von einer der Variablen befreien. Die Nebenbedingung ergibt sich aus der Geometrie des Rechtecks im Kreis. Der Kreis ist vorgegeben, sein Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ darf daher als konstant angesehen werden.

08.01.2012, 14:17

Daniel3

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Ich versteh nicht so ganz, was gemeint ist mit "Bestimmen Sie die Form...", was soll am Ende rauskommen? Eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2012, 14:19

riwe

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ein rechteckiger balken, dessen maße du bestimmen sollst Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2012, 14:23

Daniel3

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Zitat:

Original von riwe
ein rechteckiger balken, dessen maße du bestimmen sollst Augenzwinkern

Augenzwinkern

In Abhängigkeit vom Radius? Weil sonst sind ja keine Konstanten vorgegeben.

08.01.2012, 19:52

Leopold

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Ja, in Abhängigkeit vom Radius oder Durchmesser.

Vielleicht ein Hinweis zur Proportionalität: Zwei Größen $\begin{eqnarray*} y,x \end{eqnarray*}$ heißen proportional (Zeichen: $\begin{eqnarray*} y \sim x \end{eqnarray*}$ ), wenn ihr Quotient konstant ist. Nennen wir den Quotienten von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einmal $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich, wenn man nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflöst:

$\begin{eqnarray*} y = \lambda x \end{eqnarray*}$

Wenn nun eine Größe $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu zwei Größen $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ proportional ist, so ist das immer so gemeint: proportional zur einen Größe bei festgehaltener anderer Größe, also $\begin{eqnarray*} y \sim s \end{eqnarray*}$ (wenn $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ festbleibt) und $\begin{eqnarray*} y \sim t \end{eqnarray*}$ (wenn $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ festbleibt). Man kann dann schließen, daß $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zum Produkt der Größen $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ proportional ist: $\begin{eqnarray*} y \sim st \end{eqnarray*}$ . Daraus kann man wieder eine Gleichung machen. Wenn man den konstanten Quotienten von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} st \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nennt, bekommt man

$\begin{eqnarray*} y = \lambda st \end{eqnarray*}$

Und mit solch einer Gleichung mußt du arbeiten. Was spielt bei deiner Aufgabe die Rolle von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ? Und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (du kannst auch einen anderen unverbrauchten Bezeichner verwenden) ist einfach eine Konstante, die du in der Rechnung mitschleppst. Für die Stelle, wo das Extremum angenommen wird, spielt sie keine Rolle.

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08.01.2012, 20:21

Daniel3

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Edit: Denkfehler

08.01.2012, 20:46

Daniel3

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Sehe ich das richtig dass $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{\left(2a\right)^{2} - h^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2012, 20:57

Leopold

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Wenn du mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den Radius meinst, dann ist das die Nebenbedingung. Es ist allerdings sinnvoller, sie nach der anderen Variablen aufzulösen. Das sieht man, wenn man die Hauptbedingung sorgfältig anschaut.

08.01.2012, 21:17

Daniel3

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Ja, mit a meine ich den Radius, hab das so aus dem Aufgabentext übernommen.

Dann hätte ich also folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} T=\lambda \cdot b \cdot \left(\left(2a\right)^{2} - b^{2}\right) \end{eqnarray*}$

08.01.2012, 21:21

Leopold

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Na, dann weiter. Überlege zuerst (Zeichnung anschauen), welche Werte für die Variable $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ (Breite) nur zulässig sind. So bekommst du den Definitionsbereich der Funktion. Dann Diskussion der Funktion.

09.01.2012, 00:02

Daniel3

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Dann wäre die Funktion: $\begin{eqnarray*} T(b)=\lambda \cdot b \cdot \left(\left(2a\right)^{2} - b^{2}\right) \end{eqnarray*}$
Und der Definitionsbereich: $\begin{eqnarray*} \mathbb D = \left\{ x\in \mathbb R \quad 0\leq x\leq (2a) \right\} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung: $\begin{eqnarray*} T'(b) = \lambda \left(2a\right) ^{2} - 2 \lambda b^{2} \end{eqnarray*}$
Die Ableitung gleich null gesetzt ergibt: $\begin{eqnarray*} b = \pm \sqrt{\frac{\left(2a\right)^{2} }{-2} } \end{eqnarray*}$
Das wäre also der Extremwert.
Wenn ich jetzt eine Zahl für den Radius a hätte, könnte ich dadurch b errechnen und in die Gleichung für h einsetzen und hätte dann die Maße des Rechtecks, oder hab ich jetzt einen Denkfehler?

09.01.2012, 07:24

Leopold

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Der Definitionsbereich stimmt. Man kann darüber streiten, ob die Randwerte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ sinnvoll sind. Ich finde es aber besser, sie als Entartungsfälle mit dazuzunehmen, ganz so, wie du es getan hast. Es folgt dann:

$\begin{eqnarray*} T(0) = 0 , \ T(2a) = 0 \end{eqnarray*}$

Weil die Funktion $\begin{eqnarray*} T(b) \end{eqnarray*}$ ansonsten nur positive Werte annimmt (sieht man an der Produktdarstellung oder durch die Herleitung als $\begin{eqnarray*} b \cdot h^2 \end{eqnarray*}$ ), muß sie im Innern des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,2a] \end{eqnarray*}$ ein Maximum annehmen.

Deine Ableitung stimmt nicht. Ich vermute, du hast das Produkt (!!!) gliedweise differenziert und dabei auch noch den konstanten Summanden (!!!) $\begin{eqnarray*} (2a)^2 \end{eqnarray*}$ falsch behandelt: schlimme Fehler! Also entweder mit der Produktregel differenzieren oder hier einfacher: vor dem Differenzieren ausmultiplizieren.

Wie kann es sein, daß unter der Wurzel etwas Negatives steht: $\begin{eqnarray*} \frac{(2a)^2}{-2} = -2a^2 \end{eqnarray*}$ ? Da hätten bei dir sofort die Alarmglocken schrillen müssen, daß zuvor irgendwo eine Katastrophe passiert sein muß.

Und was soll das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor der Wurzel? Formal ist das zwar richtig. Aber genau deshalb haben wir den Definitionsbereich ja bestimmt. Nur dort sind Lösungen zu suchen.

Und dann viel sorgfältiger formulieren: Das irgendwann einmal korrekt berechnete $\begin{eqnarray*} b=b_0 \end{eqnarray*}$ ist nicht das Maximum, sondern die Stelle, an der $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (!) maximal wird. Der Funktionswert $\begin{eqnarray*} T(b_0) \end{eqnarray*}$ , der ist dann das Maximum! Aber nach ihm ist gar nicht gefragt. Denn es ist ja die Form des Balkens gesucht, mithin $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ , an dem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ maximal wird.

Und jetzt noch einmal von vorne ...

Zur Kontrolle das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} b_0 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot a \, , \ h_0 = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \cdot a \end{eqnarray*}$

Und wie muß man sich diesen Balken nun vorstellen? Am besten bildet man das Verhältnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{h_0}{b_0} = \sqrt{2} \ \Rightarrow \ h_0 = \sqrt{2} \cdot b_0 \approx 1{,}41 \, b_0 \end{eqnarray*}$

Maximale Tragfähigkeit wird also erreicht, wenn die Höhe um 41 % größer als die Breite ist.

11.01.2012, 01:26

Daniel3

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Okay, vielen Dank erstmal, habe es verstanden, muss es aber nochmal durchrechnen, habe noch ein paar rechnerische Probleme, vllt melde ich mich da nochmal falls ich nicht dahintersteige.
Vielen Dank für die ausführliche Hilfe,
Gruß
Daniel

11.01.2012, 20:53

Daniel3

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Also auf $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ komme ich, aber auf $\begin{eqnarray*} h_{0} \end{eqnarray*}$ nicht. Ich kann zwar $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} h_{0} \end{eqnarray*}$ einsetzen, sieht dann so aus $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{\left(2a\right)^{2} - \frac{2\sqrt{3} }{3}\cdot a } \end{eqnarray*}$ aber ich weiß nicht wie ich das weiterbehandeln soll.

12.01.2012, 10:04

Leopold

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Pythagoras handelt von Quadraten!

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