Konvergente Reihe und divergente Folge.

08.01.2012, 13:29

Hausdorff

Konvergente Reihe und divergente Folge.

Angenommen ich hätte eine konvergente reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} < \infty \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{k} > 0 \end{eqnarray*}$ . Meine Frage ist ob ich immer eine folge $\begin{eqnarray*} (b_{k}) \end{eqnarray*}$ finden kann mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } b_{k} = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k}b_{k} \end{eqnarray*}$ ;. Hat jemand eine Idee? Danke!

08.01.2012, 13:36

Gerald37

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RE: Konvergente Reihe und divergente Folge.
Gib dir bitte mehr Mühe mit der Darstellung deiner Formeln.

08.01.2012, 13:38

tmo

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Siehe dazu unseren Formeleditor.

So wie ich das einschätze ist da schon alles dabei, was du für die Darstellung deines Problems benötigst.

08.01.2012, 13:38

HAL 9000

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Gib ihm etwas Zeit - er editiert gerade... Augenzwinkern

EDIT: Fehlt da nicht was? Etwa dies:

Zitat:

Original von Hausdorff
Meine Frage ist ob ich immer eine folge $\begin{eqnarray*} (b_{k}) \end{eqnarray*}$ finden kann mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } b_{k} = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k}b_{k} \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent.

08.01.2012, 13:58

Hausdorff

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Ja, aber leider kann ich es nicht mehr korrigieren unglücklich

08.01.2012, 14:29

HAL 9000

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Tipp: Betrachte den Reihenrest $\begin{eqnarray*} r_n := \sum_{k=n}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ der Originalreihe, das ist eine streng monoton fallende Nullfolge. Basierend auf diesem $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ kann man ein geeignetes $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konstruieren. Augenzwinkern

08.01.2012, 15:27

Hausdorff

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Danke Hal! Hab damit ein Beweis gefunden! smile

Ärgert mich nur das ich nicht ohne hilfe ein Beweis gefunden habe. Ich gib immer zu schnell auf.

08.01.2012, 15:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hausdorff
Danke Hal! Hab damit ein Beweis gefunden!

Verrätst du uns auch, welchen? Damit alle was davon haben. Augenzwinkern

EDIT: Schade, dann werde ich den Thread hier abrunden: Wählt man $\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\sqrt{r_{k}}+\sqrt{r_{k+1}}} \end{eqnarray*}$ , so gelangt man wegen $\begin{eqnarray*} a_k = r_{k}-r_{k+1} \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{r_{k}-r_{k+1}}{\sqrt{r_{k}}+\sqrt{r_{k+1}}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \sqrt{r_{k}}-\sqrt{r_{k+1}} \right) \end{eqnarray*}$ ,

einer waschechten konvergenten Teleskopreihe.

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