Ganzrationale Funktionen zeichnen/lösen |
| 13.01.2007, 17:23 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ganzrationale Funktionen zeichnen/lösen Ich hänge momentan bei ein paar Matheaufgaben. Sie wurden im Unterricht schon teilweise besprochen , aber irgendwie habe ich das nicht ganz verstanden und habe es mir auch eben die ganze Zeit angeguckt . Leider hat es nur zur Frustation geführt. Das Thema sind Ganzrationale Funktionen. Ihr müsst mir die Aufgaben nicht total verlösen [wer natürlich auch nett aber ist nicht dringend], es geht auch das ihr mir ein paar Tipps gebt , dann poste ich wieder was ich mir dabei gedacht habe und ihr guckt ob ich das ansatzweise richtig gemacht habe. Ich werde meine Lösungsvorschläge posten soweit wie ich gekommen bin .... Also folgendes : 1.)Gegeben ist die Funktion f(x)= x³-2x²-5x+6 a.) Geben Sie den Grad und die Koeffizienten der Funktion an . b.) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Achsenabschnitt dieser Funktion. c.) Was können sie über das Symmetrieverhalten des Graphen sagen ? (Begründung!) d.) Untersuchen sie das Verhalten für x-> +/- ∞ e.) Skizzieren Sie aufgraund Ihrer vorangegangen Überlegung – ohne Wertetabelle – den Graphen der Funktion. a.) 3. Grad, Koeffizienten keine Ahnung b.) f(x)= x³-2x²-5x+6 x³-2x²-5x+6 = 0 => für x=1 einsetzen dann : (x³-2x²-5x+6) 
x-1) = x²+x-6 [Durch Polynomdivison rausgefunden] x²+x-6 p/q Formel => Lösung x=1 ist die einzige Nulstelle Achsenabschnitt ist = 6, da man einfach für x = 0 einsetzt und dann y=6 rausbekommt c.)Da weiß ich nicht genau wie das geht d.) Das habe ich eh nie verstanden , irgendwie wenn die Koeffizienten größer null sind oder sowas ? e.) Kann ich überhaupt nicht ! [siehe Nr.3] _______________ _____________ ______________ 2.)Gegeben ist die Funktion f(x) = x³-9x²+24x-16 a.) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Achsenabschnitt dieser Funktion. b.) Untersuchen Sie f auf die Symmetrie. c.) Untersuchen sie das Verhalten für x-> +/- ∞ d.) Zeigen Sie , dass die Funktionswerte f(2),f(3) und f(4) auf einer Geraden g liegen. Berechnen Sie die Geradengleichung von g ! e.) Eine Ursprungsgerade h schneidet den Graphen von f bei P1(3/f(3) ) . Bestimmen Sie die weiteren Schnittpunkte von h und f. f.) Wie weit sind diese Punkte vom Schnittpunkt P1 entfernt ? g.) Zeichnen Sie die drei Graphen f, g und h für -1 ≤ x ≤ 6 . a.) b.) c.) Ergibt sich von der 2, also braucht ihr es mir nur einmal zu erlären d.) Vielleicht mit Punktsteigungsform ? Oder Punktprobe ? Hab es ausprobiert aber ich krieg da nur ein wirr-warr raus e.) ?? f.) Abstandsformel würde mir da einfallen , aber mit welchem Punkt ? g.) No idea ... _______________ _____________ ______________ 3.) Wie kann man von einem Graphen den Term dazu ablesen, wenn ich den Grad das Polynom bekomme und einen Punkt des Graphen ? Allgemein bei diesen Graphen bei ganzrationalen Funktionen habe ich immer Probleme wie man die richtig zeichnet, ob das jetzt von links oben nach rechts unten geht e.t.c. Ich denke jedem im Vorraus für wirklich jeden Tipp. |
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| 13.01.2007, 17:29 | reBourne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 1. a) Grad stimmt 
, und Koeffizienten sind die Zahlen ,die vor den x's stehen 
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| 13.01.2007, 17:38 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok also 1.) a.) 3. Grad und Koeffizient dann doch ... einfach 1 ? weil x bedeutet doch eigentlich 1*x Also sind alle Koeffizienten einfach 1 richtig ? 
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| 13.01.2007, 17:39 | Musti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 1c) Sind alle Exponenten gerade ist die Funktion y-Achsensymmetrisch. Sind alle Exponenten ungerade ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Besitzt die Funktion gerade und ungerade Exponenten so ist die Funktion weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch y-Achsensymmetrisch. |
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| 13.01.2007, 18:42 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x)= x³-2x²-5x+6 die koeffizienten sind: 1 -2 -5 |
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| 13.01.2007, 18:49 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
noch etwas zu c) Ich weis zwar nicht inwiefern Begründung jetzt Nachweis bedeutet aber man könnte das Symmetrieverhalten auch per Rechnung untersuchen. Für einfach achsensymmetrische (zur y-Achse) Funktionen sollte gelten: f(x)=f(-x) Für einfach punktsymmetrische (zum Koordinatenursprung) Funktionen sollte gelten: f(x)=-f(-x) Sollten beide Nachweise nicht positiv verlaufen, ist die Funktion nicht einfach symmetrisch. |
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| 13.01.2007, 20:24 | Dorika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
e) klappt das? ansonsten kann du versuchen noch weitere punkte (hochpunkt, tiefpunkt) oder etw über die monotonie herauszubekommen.... koeffizienten passen 
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| 13.01.2007, 23:21 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also da bin ich wieder Hier mal meine Fortschritte : 1 a) verstanden , danke / aber ist 6 dann eigentlich nicht auch ein Koeffizienten , also irgendwie a0 = 6 ?? Dieses konstante Glied dachte ich oder interpretiere ich da gerade zu viel rein b) verstanden , aber in der Erklärung falsch gerechnet. Die Nullstellen sind -2;1 und 3 c)Ich würde erstmal sagen keine Symmetrie weil der Exponent ³ ungerade ist und es in der Funktion noch Polynome gibt die gerade sind [², 6 u.s.w. ] . Stimmt das denn soweit ? Wie kann man das denn eigentlich „manuell“ beweisen, also z.B. mit f(x) = f(-x) d) Ich habs verstanden juhu ! An sich ist es total simpel. z.B. ist -2x³ dann hat man für + oo negativ raus und für - oo positive raus Meine Frage ist jetzt nur : Wie schreibt man das dann ? Ich hab das jetzt z.B. so gemacht : x³ x -> + oo => + oo x -> - oo => - oo Ist doch bestimmt mathematisch nicht korrekt das so zu schreiben oder ? Was ich immer noch nicht verstanden habe ist wie man diese Graphen dann korrekt zeichnet, also eigentlich siehe e e) Wir sollen das teilweise mit den Nullstellen zeichnen, mit einem Achsenabschnitt den wir rausfinden und den Grad den wir haben. Leider kann ich damit nicht groß viel anfangen. Ich verstehe immernoch nicht in welchem Quadranten die Graphen beginnen :/ zu 2 ) a-c ist ja dann abgehackt brauch also dann noch Hilfe bei ___ d.)Zeigen Sie , dass die Funktionswerte f(2),f(3) und f(4) auf einer Geraden g liegen. Berechnen Sie die Geradengleichung von g ! e.) Eine Ursprungsgerade h schneidet den Graphen von f bei P1(3/f(3) ) . Bestimmen Sie die weiteren Schnittpunkte von h und f. f.) Wie weit sind diese Punkte vom Schnittpunkt P1 entfernt ? g.) Zeichnen Sie die drei Graphen f, g und h für -1 ≤ x ≤ 6 . ____ So ich glaube für mich reichts heute für Mathe lernen . Morgen geht’s weiter
Danke und ich freue mich schon auf eure Antworten ! |
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| 14.01.2007, 13:10 | Dorika | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey! zur symmetrie: siehe die og bedingungen und setzte für x -x ein, schau was passiert. du liegtst mit deiner annahme richtig, dass idf keine symmetrie vorliegt. (auch schnell erkennbar an den exponenten) zur zeichung: suchst du eine zeichnung oder eine skizze? der graph beginnt "oben rechts", also im 1. das erkennst du daran, dass der koeffizient vor deinem x³ positiv ist. auch kann man dann schön über die monotonie argumentieren. daszu bildest du einfach die 1.ableitung und schaust, wann die > oder < 0 wird. außerdem kannst du noch maxima und minima berechnen, falls dir das hilft. zu d: ich würde erstmal die x werte berechnen und dann mit der 2 punkte form die steigung zwischen 2en berechenen und schauen, ob der andere punkt ebenfalls auf dieser geraden liegt so hast du direkt sie steigung und dern rest (achsenabschnitt) zu ermitteln solltest du in der lage sein. |
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| 15.01.2007, 21:42 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Leute! Ich verstehe jetzt schon auf jeden Fall manche Dinge viel besser dank Eurer Hilfe ! Auf einmal ist alles so logisch 
Jetzt habe ich jedoch immer noch Probleme mit den letzteren Aufgaben : 5) d.)Zeigen Sie , dass die Funktionswerte f(2),f(3) und f(4) auf einer Geraden g liegen. Berechnen Sie die Geradengleichung von g ! e.) Eine Ursprungsgerade h schneidet den Graphen von f bei P1(3/f(3) ) . Bestimmen Sie die weiteren Schnittpunkte von h und f. f.) Wie weit sind diese Punkte vom Schnittpunkt P1 entfernt ? g.) Zeichnen Sie die drei Graphen f, g und h für -1 ≤ x ≤ 6 . zu d. Z.B. ich weiß nicht wie ich die y-Werte rausbekommen soll. Mir ist schon klar das die Koordinaten z.B. P1(2/ f(2) ) aber mit solchen Angaben kann ich doch erstmal keine Steigung rausfinden , ich brauch doch 2 Punkte dazu .... e.) f.) und g.) kann ich denke ich mal nach verstehen von d einfach lösen , da reicht ein Blick in das alte Heft und gut ist
So ich hab dann noch 2 Dinge gefunden die ich nicht ganz verstehe und da ich am Mittwoch ja schon meine Klausur schreibe möchte ich lieber das auch verstehen Eine Aufgabe 9 ) Skizzieren Sie grob den Verlauf des Graphen in der Nähe der Koordinatenschnittpunkte (also einfach zeichnen) Die Funktion ist aber total komisch ! f(x) = 0,01 (x+5)(x+3)³(x-1)²(x-4) Also wenn ich das so sehen würde ich schonmal sagen es handelt sich um einen Graph 4. Grades weil es 4 Nullstellen gibt. Aber wie löse ich die Potenzen auf ?? 10 ) [und diese ist mir sehr wichtig] Wir haben eine Zeichnung eines Graphen bekommen und müssen dazu den Term rausfinden. Gegeben ist noch der Grad des Polynoms und einen Punkt des Graphen . Wie kann ich jetzt den Term ablesen ? Ich kann ja die Nullstellen ablesen und dann mit den Nullstellen als Linearfaktoren multiplizieren. Aber wie komme ich dann auf den 5.Grad ? |
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| 16.01.2007, 18:33 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will ja nicht unnötig pushen aber ich würde mich wirklich sehr freuen über Hilfe. Z.b. man hat diesen Graphen gegeben : Wie kann ich jetzt die Funktion ablesen , wenn ich euch verrate des es sich um eine Funktion 3.Grades handelt . Ein Punkt auf dem Graphen wäre z.B. der Achsenabschnitt P(0/10) So eine Aufgabe komtm morgen auf jeden Fall in die Klausur. I need help
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| 16.01.2007, 18:41 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die allgemeine Gleichung einer Funktion 3.Grades lautet f(x)=ax³+bx²+cx+d Das heißt du brauchst mindestens 4 Bedingungen (zur Bestimmung von 4 Variablen) um den Graphen einwandfrei zu bestimmen. Also mit einem Punkt ist es da nicht getan, ist die Aufgabe wirklich so forumuliert gewesen?? |
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| 16.01.2007, 19:14 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja ... Unser Lehrer sagt was mit Nullstellen und Linearfaktoren die ja teilweise dann ablesbar sind irgendwie ... aber sagen wir mal die Nullstellen sind bei dem Graphen [jetzt grob gesagt] 1 ; 2 und 5 . Damit kann man dann so Linearfaktoren machen also : (x+1) (x-2) (x-5) Nur weiß ich nicht wie man dann den 3.Grad reinbringen soll und sowas :/ |
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| 16.01.2007, 19:19 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja einfach ausmultiplizieren... Dann kommt deine Gleichung dritten Grades raus. |
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| 16.01.2007, 19:41 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Aufgabe ist aber noch ein Punkt gegeben .... wozu brauch ich den denn ? ok also dann häng ich nur noch hier drann d.)Zeigen Sie , dass die Funktionswerte f(2),f(3) und f(4) auf einer Geraden g liegen. Berechnen Sie die Geradengleichung von g ! dat is super wichtig para mii |
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| 16.01.2007, 19:47 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die 3 Nullstellen gegeben hast brauchst du den eigentlich nicht. (oder irre ich mich?!) Nun zur nächsten Aufgabe, ist die noch auf die vorherig Funktion bezogen?? |
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| 16.01.2007, 20:07 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein ist sie nicht Eigentlich geht das ja mit der 2 Punkte Formel , aber ich hab doch keine y-koordinate :/ Und noch ma zur Funktion : Ja das ist ja auch was micht verwirrt hat. Aber bei der Zeichnung sieht man auf einem unserer Übungsblätter sieht mane einen Graphen mit 3 Nullstellen , daneben steht aber das das Polynom 5.Grades ist. Und der Lehrer hat gesagt so eine Aufgabe kommt auf jeden Fall in die Klausur |
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| 16.01.2007, 20:15 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das jezt auf die erste Funktion bezogen?? Also die für die wir vorhin die Linearfaktorzerlegung hatten?
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| 16.01.2007, 20:30 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja ist es Die d) ist eine andere Aufgabe bei der ich aber auch sehr dringend Hilfe brauche |
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| 16.01.2007, 20:35 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber da hast du doch geschrieben "Funktion 3.Grades". Und jetzt ist es eine 5.Grades?? Was stimmt nun? |
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| 16.01.2007, 21:11 | Baldessarini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt das war Etwas verwirren Das mit dem 5.Grad war ein anderes Beispiel , welches womöglich morgen teilweise genauso in die Arbeit kommen wird. Man sieht einfach einen Graphen der nur 3 Nullstellen hat. Trotzdem heißt die Aufgabenstellung : Bestimmen Sie den Term zu nebenstehendem Graphen. Grad des Polynoms : n =5 Punkt des Graphen : P (1 / - 2 ) |
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| 17.01.2007, 16:46 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei einer Funktion 5.Grades hast du 6 Variablen (außer die Funktion ist achsensymmetrisch zu x=0, oder punktsymmetrisch zum P(0;0) Das heißt du brauchst zur einwandfreien Bestimmung der Funktionsgleichung auch mindestens 6 Bedingungen... Also kann nicht nur ein Punkt gegeben sein?? |
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