Berechnung von Polarkoordinatendarstellung bei komplexen Zahlen

08.01.2012, 15:58

Matheing

Berechnung von Polarkoordinatendarstellung bei komplexen Zahlen

Hallo, ich komme bei der Berechnung von Polarkoordinaten nicht voran.

Hier erstmal die Aufgabe:

Gegeben ist die komplexe Zahl

$\begin{eqnarray*} z = \frac{2}{5} - \frac{2}{5}i \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Polarkoordinatenform von $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{z^4} \end{eqnarray*}$

uni-graz.at/imawww/thaller/lehre/hm/hm2/hm243x.png

Aber ich blicke trotzdem nicht so wirklich weiter...über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

LG

08.01.2012, 17:14

Matheing

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Kann mir niemand helfen?

08.01.2012, 18:39

original

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RE: Berechnung von Polarkoordinatendarstellung bei komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Matheing

Gegeben ist die komplexe Zahl

$\begin{eqnarray*} z = \frac{2}{5} - \frac{2}{5}i \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Polarkoordinatenform von $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{z^4} \end{eqnarray*}$

da hast du wohl die Aufgabe nicht korrekt notiert, denn aus
$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{z^4} \end{eqnarray*}$

folgt sofort $\begin{eqnarray*} z^5= 1 \end{eqnarray*}$

und dann wäre die Aufgabe : die 5 fünften Einheitswurzeln zu berechnen..

vermutlich sollst du aber mit gegebenem $\begin{eqnarray*} z = \frac{2}{5} \cdot (1-i) \end{eqnarray*}$ -> Polarform: $\begin{eqnarray*} z = \frac{2\cdot \sqrt{2} }{5}\cdot \left(\cos(315°)+i\cdot \sin(315°) \right) \end{eqnarray*}$

nun die Zahl $\begin{eqnarray*} w= z^{-4} \end{eqnarray*}$

in Polarformdarstellung notieren?
oder?

der Tipp für Berechnung von z^m wäre zB:
- der Betrag des Ergebnisses ist der mit m potenzierte Betrag von z
- das Argument ist das mit m multiplizierte Argument von z

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform

.

08.01.2012, 18:59

Matheing

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RE: Berechnung von Polarkoordinatendarstellung bei komplexen Zahlen
Danke für die Antwort.

Ich habe die Aufgabe eigentlich genau so aufgeschrieben, wie sie mir gegeben wurde.

Und ja, ich glaube, dass ich die Polarkoordinaten von z^-4 angeben soll.

Aber wie bist du denn auf deine Schritte gekommen? Und woher kommt der Winkel 315°? Das verstehe ich nicht...

LG

08.01.2012, 19:09

original

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RE: Berechnung von Polarkoordinatendarstellung bei komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Matheing

Aber wie bist du denn auf deine Schritte gekommen? Und woher kommt der Winkel 315°? Das verstehe ich nicht...

zeichne dir doch mal den Punkt

z= 1 - i

in der Gaussebene ein.. Wink

..der hat ja das gleiche Argument ("Winkel") wie dein z= (2/5)*(1 - i)

08.01.2012, 21:34

Matheing

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Okay,und woher kommt das Wurzel 2?

08.01.2012, 23:30

original

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Zitat:

Original von Matheing
Okay,und woher kommt das Wurzel 2?

das ist der Betrag der Zahl 1 - i

es ist 1 - i = (Wurzel 2)* cis (315°)

multipliziere doch probeweise mal aus : $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot \left(\cos(315°)+i\cdot \sin(315°) \right) = ? \end{eqnarray*}$

bedenke dabei: cos(315°) = (1/2)*(Wurzel 2) ... und sin(315°) = ?

so - und was bekommst du nun als Ergebnis für deine Aufgabe w= z^(-4) =?

(wenn du das wieder in Normalform darstellst, wirst du eine rein reelle Zahl bekommen )

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