Basis in R^3, Dualbasis

13.01.2007, 17:30	Dr. Logik	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis in R^3, Dualbasis Hallo zusammen. Würde gern wissen, ob meine Überlegungen zur folgenden Aufgabe stimmen: Gegeben sei die folgende Basis $\begin{eqnarray} B:=\{b_1,b_2,b_3\} \text{ von } \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} b_1:= e_1 +e_2 +e_3,b_2:=2e_1-e_2, b_3:=e_2+e_3 \end{eqnarray}$ . (E={e1,e2,e3} = Standardbasis des R^3) Ferner sei eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ definiert durch: $\begin{eqnarray} \varphi(b_1):=2b_1+b_3, \varphi(b_2):=2b_1-b_2+b_3, \varphi(b_3):=b_1+3b_2+b_3 \end{eqnarray}$ . zunächst nur a) Stellen sie die Elemente der zu B dualen Basis $\begin{eqnarray} B^=\{b_1^,b_2^,b_3^\} \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Elemente der zu E dualen Basis $\begin{eqnarray} E^=\{e_1^,e_2^,e_3^\} \end{eqnarray}$ dar. Meine Lösung lautet so: Es gilt: $\begin{eqnarray} b_1:=(1,1,1), b_2:=(2,-1,0),b_3:=(0,1,1) \end{eqnarray}$ Das liefert folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&2&0\\1&-1&1\\1&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die dazu inverse Matrix lautet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&2&-2\\0&-1&1\\-1&-2&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit gilt für die duale Basis: $\begin{eqnarray} B^=\{e_1^+2e_2^-2e_3^,-e_2^+e_3^,-e_1^-2e_2^+3e_3^\} \end{eqnarray*}$ Ist die Rechnung so richtig? Danke schonmal im Voraus. Dr. Logik

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