Inverse Matrix mit Parameter 3x3

08.01.2012, 17:12

CyberSowjet

Inverse Matrix mit Parameter 3x3

Meine Frage:
Hi, habe Probleme mit folgender Matrix:
Es soll die Inverse brerechnet werden:
und Die Werte der Menge R für die es eine Lösung gibt.

\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}

Meine Ideen:
Hi, habe Probleme mit folgender Matrix:
Es soll die Inverse brerechnet werden:
und Die Werte der Menge R für die es eine Lösung gibt.

\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}

Habe danach Zeile1 mit Z3 getauscht.

M^{-1} = Adjunkte(M) / Determinante(M)

Dann die Determinante berechnet.

Ist bei mir : 1(a-1) - 1(1-a) + a(1-a^{3})
-> -a^{3}+3a-2

Wenn D=0 ergbit sich keine Inverse(oder?)

also -a^{3}+3a-2=0

durch fröhliches raten: D=0 wenn a=1 oder a=-1

-> Polynomdivision
(-a^{3} +0*a^{2}+3a-2)/(a-1)= -a^{2}+a+4+ Rest
rest=\frac{6}{(a-1)}

so und was nun ?? stimmt die Polynomdivision ?
bin ich richtig vorgegangen ??

09.01.2012, 13:40

wdposchmann

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RE: Inverse Matrix mit Parameter 3x3

Zitat:

Original von CyberSowjet
Meine Frage:
Hi, habe Probleme mit folgender Matrix:
Es soll die Inverse brerechnet werden:
und Die Werte der Menge R für die es eine Lösung gibt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hi, habe Probleme mit folgender Matrix:
Es soll die Inverse brerechnet werden:
und Die Werte der Menge R für die es eine Lösung gibt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe danach Zeile1 mit Z3 getauscht.

$\begin{eqnarray*} M^{-1} = Adjunkte(M) / Determinante(M) \end{eqnarray*}$

Dann die Determinante berechnet.

Ist bei mir : $\begin{eqnarray*} 1(a-1) - 1(1-a) + a(1-a^{3})<br /> -> -a^{3}+3a-2 \end{eqnarray*}$

Wenn D=0 ergbit sich keine Inverse(oder?)

also $\begin{eqnarray*} -a^{3}+3a-2=0 \end{eqnarray*}$

durch fröhliches raten: D=0 wenn a=1 oder a=-1

-> Polynomdivision
$\begin{eqnarray*} (-a^{3} +0*a^{2}+3a-2)/(a-1)= -a^{2}+a+4+ Rest<br /> rest=\frac{6}{(a-1)} \end{eqnarray*}$

so und was nun ?? stimmt die Polynomdivision ?
bin ich richtig vorgegangen ??

Hi, deine Determinante stimmt soweit. Jetzt musst du halt $\begin{eqnarray*} -a^{3}+3a-2=0 \end{eqnarray*}$ noch korrekt lösen. Das Polynom hat zwei Nullstellen und man kann es ohne reines Raten lösen. a=1 stimmt, a=-1 hingegen nicht aber es gibt noch einen anderen Nullwert.

Gut, dann weisst, du dass es für alle a außer diese zwei eine Inverse gibt. Diese würde ich jetzt so berechnen, dass ich die Einheitsmatrix gegenüberstelle. Du kannst es aber natürlich auch über deine Formel mit der Adjungten machen. Poste doch mal dein Ergebnis bzw. den Schritt in dem du nicht weiterkommst.

Gruß

11.01.2012, 11:46

CyberSowjet

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Danke erstmal für hinzufügen des Codes und für die Antwort

Ich weiß nicht warum aber wenn ich auf "edit" gehe bekomme ich eine Meldung das ich den Beitrag erst nach 15 min editieren kann ...... naja verwirrt

Ok sagen wir ich bekomme durch raten ( glaube nicht das mein Prof zufrieden dabei ist unglücklich

)
a = -2 ; -1

Woher weiß ich das es nur 2 Nullstellen sind ?

dann bekomme ich :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a-1 & -1+a & 1-a^{2} \\ -1+a & 1-a^{2} & -1+a \\ -1+a^{2} & -1+a & a-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt noch durch die Adjungte teile ( also muss ich jede stelle der Matrix teilen oder ?)

Adj. = $\begin{eqnarray*} -a^{3}+3a-2 \end{eqnarray*}$

dann kommt ne echt komplizierte Matrix raus bei ich nichts kürzen kann....

Ist das richtig ? :-D

kann ich die Adjunkte in
$\begin{eqnarray*} (a+2)*(a-1)^{2} \end{eqnarray*}$
umschreiben obwohl bei der Polyd. ein rest rauskommt ?

11.01.2012, 19:37

wdposchmann

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Hi,

Zitat:

Ok sagen wir ich bekomme durch raten ( glaube nicht das mein Prof zufrieden dabei ist unglücklich

) a = -2 ; -1

Woher weiß ich das es nur 2 Nullstellen sind ?

Also da es ein Polynom dritten Grades ist musst du eine raten und die andere durch Polynomdivision berechnen, was du ja auch machst, du hast dich nur verrechnet. Du solltest auf $\begin{eqnarray*} \frac{-a^3+3a-2}{a-1} = -(a+2)(a-1) \end{eqnarray*}$ kommen, wo du nun leicht erkennst, dass du eine Nullstelle bei -2 und eine doppelte bei 1 hast (insgesamt).

Zitat:

Wenn ich jetzt noch durch die Adjungte teile ( also muss ich jede stelle der Matrix teilen oder ?)

Adj. = $\begin{eqnarray*} -a^3+3a-2 \end{eqnarray*}$

dann kommt ne echt komplizierte Matrix raus bei ich nichts kürzen kann....

Ist das richtig ? :-D

Also erstens müsstest du deine Matrix jetzt durch die Determinante und nicht durch die Adjunkte teilen. Deine Adjunkte ist aber falsch. Schau dir hier mal die Adjunkte zu einer 3x3-Matrix an. Die richtige Matrix lautet

$\begin{eqnarray*} <br /> A^{-1} = \frac{1}{a^3-3a+2}\begin{pmatrix} a^2-1 & 1-a & 1-a \\ 1-a & a^2-1 & 1-a \\ 1-a & 1-a & a^2-1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Und damit hast du jetzt auch schon deine Inverse Matrix in Abhängigkeit von a. Wenn du möchtest, kannst du ja für a nochmal einen Wert einsetzen (z.B. 4) und dann $\begin{eqnarray*} A*A^{-1} \end{eqnarray*}$ berechnen. Wenn du dann die Einheitsmatrix bekommst, sollte ja alles stimmen.

Gruß

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