Transformationssatz

08.01.2012, 18:09

Causal

Transformationssatz

Es geht um folgende Aufgaben:
(Anhang)

Ich weiß nicht wirklich wie ich da transformieren soll.
Haben auch kein Bsp in der VL oder im TUT gehabt.
Vielleicht kann einer von euch mir wenigstens die b) erklären, damit ich das Prinzip verstehe.

Danke

[attach]22605[/attach]

08.01.2012, 21:03

Leopold

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Hast du bei der b) eine Vorstellung davon, wie der Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aussieht? Als Transformation bieten sich dann modifizierte Polarkoordinaten an:

$\begin{eqnarray*} x = ar \cos t \, , \ y = br \sin t \end{eqnarray*}$

Oder ganz ausführlich: Man führt die Substitution

$\begin{eqnarray*} \varphi(r,t) = \left( ar \cos t \, , \, br \sin t \right) \end{eqnarray*}$

durch. Welche Intervalle müssen die Variablen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ durchlaufen, damit $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ den Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ durchläuft?

08.01.2012, 23:50

Causal

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Danke soweit für deine Antwort, aber wie kommst du auf diese Polarkoordinaten?

09.01.2012, 04:04

Causal

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Zitat:

Original von Leopold
Hast du bei der b) eine Vorstellung davon, wie der Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aussieht? Als Transformation bieten sich dann modifizierte Polarkoordinaten an:

$\begin{eqnarray*} x = ar \cos t \, , \ y = br \sin t \end{eqnarray*}$

Oder ganz ausführlich: Man führt die Substitution

$\begin{eqnarray*} \varphi(r,t) = \left( ar \cos t \, , \, br \sin t \right) \end{eqnarray*}$

durch. Welche Intervalle müssen die Variablen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ durchlaufen, damit $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ den Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ durchläuft?

Also ich hab nochmal mit der Aufgabe beschäftigt und bin zu folgendes gekommen:
1. $\begin{eqnarray*} \phi(x,y) =(ar \cos t \, , \, br \sin t) \end{eqnarray*}$
2. Der Radius r = 1, da sich r aus $\begin{eqnarray*} r = \sqrt ((x/a)^2 + (y/a)^2) \end{eqnarray*}$ ergibt.
3. Die Determinante der Funktionalmatrix ist a^2
4. Die Intervalle sehen so aus $\begin{eqnarray*} [0, 2\pi) \times [0,1] \end{eqnarray*}$
5. Aus dem Satz von Fubini und dem Satz über Regelfktn folgt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \ \int_0^1 \ (a \cos t + b \sin t) |a^2| drdt \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nun, dass ich für mein Integral null rauskriege, warum?!

Danke

09.01.2012, 07:26

Leopold

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Du hast die Frage nicht beantwortet, wie der Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aussieht. Dann beantwortet sich im wesentlichen auch die Frage, wie man auf die angepaßten Polarkoordinaten kommt.

1. $\begin{eqnarray*} \varphi(r,t) \end{eqnarray*}$ Variablen!
2. aus der Ungleichung bei der Definition von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} r \leq 1 \end{eqnarray*}$ (beim Integral stimmt es)
3. die Funktionaldeterminante ist $\begin{eqnarray*} abr \end{eqnarray*}$
4. stimmt
5. Quadrate beim Integranden fehlen

09.01.2012, 16:49

Causal

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Zitat:

Original von Leopold
Du hast die Frage nicht beantwortet, wie der Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aussieht. Dann beantwortet sich im wesentlichen auch die Frage, wie man auf die angepaßten Polarkoordinaten kommt.

1. $\begin{eqnarray*} \varphi(r,t) \end{eqnarray*}$ Variablen!
2. aus der Ungleichung bei der Definition von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} r \leq 1 \end{eqnarray*}$ (beim Integral stimmt es)
3. die Funktionaldeterminante ist $\begin{eqnarray*} abr \end{eqnarray*}$
4. stimmt
5. Quadrate beim Integranden fehlen

Danke für deine Antwort und sry, dass ich die Frage nicht beantwortet habe.
Die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist eine Kugel mit Radius 1 und je nachdem was a, b für Zahlen sind, so wird diese Kugel größer, sprich der Radius wird größer.

1. Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} \varphi(r,t) \end{eqnarray*}$ Variablen? $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist doch eine Abbildung oder?

2. Warum ist $\begin{eqnarray*} r \leq 1 \end{eqnarray*}$ ?

3. Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} abr \end{eqnarray*}$ ? Und muss man nicht füt $\begin{eqnarray*} t = 2\pi \end{eqnarray*}$ einsetzen? Ansonsten würde ich auf $\begin{eqnarray*} a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t \end{eqnarray*}$ ..

4. Gut Freude

5.Du meinst: $\begin{eqnarray*} \int \int ((a \cos t)^2 + (b \sin t)^2)) drdt \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2012, 18:22

Causal

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Also Nummer 2 und 3 haben sich erledigt smile

Habs verstanden, aber die 1 verwirrt mich ein wenig. Warum ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ keine Funktion?

Gruß

09.01.2012, 18:33

Leopold

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Zitat:

Original von Causal
1. Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} \varphi(r,t) \end{eqnarray*}$ Variablen? $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist doch eine Abbildung oder?

Mir ging es nur um die Variablen: $\begin{eqnarray*} r,t \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ .

09.01.2012, 20:28

Causal

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Achso ok.
Ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \pi(ab(a^2 + b^2)) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis. Das macht mehr Sinn. Kannst du das bestätigen?

09.01.2012, 21:25

Causal

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ich hab's nochmal nachgerechnet und soweit stimmt das Ergebnis.
So nun 2c) .
1. Woher weiß man wie solche Mengen aussehen? Gibt es da einen Trick oder einen bestimmten Plotter mit dem man das Plotten kann?

2. Mein Vorschlag wäre es jetzt mit den Zylinderkoordinaten zu hantieren. Macht das Sinn?

3. Sehen die Mengen so aus:
$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y,z)^T \in \mathbb R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 2ax \right\} \cap <br /> \left\{ (x,y,z)^T \in \mathbb R^3 | (x-a)^2 + y^2 \leq b^2 \right\} \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 07:40

Leopold

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Durch quadratische Ergänzung sieht man, daß die erste Gleichung eine Kugel um $\begin{eqnarray*} M = (a,0,0) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ darstellt. Für das Volumen ist natürlich die Vollkugel gemeint, das Gleichheitszeichen also durch kleinergleich zu ersetzen:

$\begin{eqnarray*} (x-a)^2 + y^2 + z^2 \leq a^2 \end{eqnarray*}$

Und die zweite Ungleichung stellt einen unendlichen Zylinder dar. Der Kreis vom Radius $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ liegt in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wie oben, die Rotationsachse des Zylinders verläuft parallel zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse ( $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ kommt ja in der Bedingung gar nicht vor, ist also beliebig):

$\begin{eqnarray*} (x-a)^2 + y^2 \leq b^2 \end{eqnarray*}$

Am besten zeichnest du dir auf einem Blatt ein $\begin{eqnarray*} xz \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem mit einem Kreis um $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Wenn das Blatt auf dem Tisch liegt, zeigt die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse vom Blatt nach unten weg in Richtung deiner Füße. Vom Zylinder sind auf deinem Blatt daher nur zwei parallele Geraden zu sehen. Sie stehen senkrecht auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse und haben von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ den Abstand $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine schöne symmetrische Figur. Da sich das Volumen bei Translationen nicht ändert, kannst du das Ganze in den Ursprung verschieben und statt der gegebenen die beiden Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2 \ \ \wedge \ \ x^2 + y^2 \leq b^2 \end{eqnarray*}$

nehmen. Wegen der Symmetrie genügt es, das Volumen oberhalb der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene zu bestimmen und den Wert zu verdoppeln. Das ist dann aber nichts anderes, als das Volumen unter dem Graphen der Funktion

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = \sqrt{a^2 - \left( x^2 + y^2 \right)} \ \ \text{(obere Halbkugel)} \end{eqnarray*}$

über dem Bereich

$\begin{eqnarray*} B: \ \ x^2 + y^2 \leq b^2 \end{eqnarray*}$

zu bestimmen. Der gesuchte Wert ist daher

$\begin{eqnarray*} V = 2 \int_B f(x,y) ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes, als was bei dir $\begin{eqnarray*} \dd \lambda^2 \end{eqnarray*}$ heißt.

12.01.2012, 15:11

Causal

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Danke für diese ausführliche Erklärung, dass hat mich weiter gebracht! Freude

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