n-te Ableitung von f(x) = ln(x)

08.01.2012, 19:21

Animal21

n-te Ableitung von f(x) = ln(x)

Meine Frage:
Hallo Leute,
wir sollen per Induktion beweisen, dass die n-te Ableitung von f(x)=ln(x) die form $\begin{eqnarray*} f^{n}(x) = \frac{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{x^{n} } \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Ideen:
Meine Idee für den dritten Schritt war:
$\begin{eqnarray*} f^{n+1}(x) = (f^{n}(x))^{'} = (\frac{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{x^{n} } )^{'} =((-1)^{n-1}*(n-1)! * x^{-n} )^{'} = \frac{-n*(-1)^{n-1}*(n-1)!}{x^{n-1}} \end{eqnarray*}$

hab dann mal gegooglt und folgende lösung gefunden, allerdigs weis ich nicht, wie der jenige drauf kommt:
$\begin{eqnarray*} f^{n+1}(x) = (f^{n}(x))^{'} = -n * \frac{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{x^{n+1}} = \frac{(-1)^{n}*n!}{x^{n+1}} \end{eqnarray*}$

falls das richtig ist, wie kommt der dadrauf?

mfg
ani

08.01.2012, 19:46

Mulder

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)
Wie leitest du denn das ab? Der Zähler ist erstmal konstant. Und das x^n steht ja im Nenner, wenn du das ableiten willst, musst du das mit der Potenzregel machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^n} = x^{-n} \end{eqnarray*}$

Der neue Exponent ist dann (-n-1)=-(n+1)

Außerdem ist

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} = -(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$

08.01.2012, 20:32

Animal.21

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)
ja richtig, hab vergessen, dass minus noch mit reinzuschreiben, aber sonst ist es ja richtig und ich hab das ganze umgestellt:

$\begin{eqnarray*} f^{n+1}(x) = (f^{n}(x))^{'} = (((-1)^{n-1} * (n-1)!) * x^{-n})' = -n((-1)^{n-1} * (n-1)!) * x^{-n-1} = -n * \frac{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{x^{-n-1}} \end{eqnarray*}$

aber selbst wenn ich nun das minus ausklammere, kommt ja:
$\begin{eqnarray*} x^{-n-1} = x^{-(n+1)} \end{eqnarray*}$ raus, und nicht
$\begin{eqnarray*} x^{-n-1} = x^{(n+1)} \end{eqnarray*}$ .

Ich glaub ich steh auf nem schlauch, warum ist
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} = -(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$ ?

mfg
ani

08.01.2012, 20:46

Mulder

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)
Ich denke, all deine Probleme würden sich in Luft auflösen, wenn du nochmal die diversen Rechenregeln für Potenzen nachschlagen würdest. Die musst du sowieso beherrschen.

Da!

09.01.2012, 15:05

Animal.21

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)
sorry, aber ich seh anscheint den Wald vor lauter potenzen nicht unglücklich

kannst es bitte erklären?

09.01.2012, 15:58

Mulder

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)
Anfangs stand im Nenner ein x^n. Das hast du dann in den Zähler gepackt und folgerichtig zu x^(-n) umgeschrieben. Dann hast du abgeleitet zu -n*x^(-n-1). Und dann hast du das x^(-n-1) wieder in den Nenner gepackt, aber ohne das Vorzeichen im Exponenten wieder umzukehren. Das ist einfach Schlamperei. unglücklich

Nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^n} = x^{-n} \end{eqnarray*}$

Also immer Vorzeichen umkehren, wenn du solche Potenzen vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt verschiebst.

Und das:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} = -(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Kann ich eigentlich nicht noch näher erklären. Die Potenzgesetze erklären dazu alles. Genau so gut könntest du mich fragen, warum $\begin{eqnarray*} x \cdot x^2 = x^3 \end{eqnarray*}$ ist.

09.01.2012, 17:11

Animal.21

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)
hmm, also $\begin{eqnarray*} x^{2}*x^{3}=x^{6} \end{eqnarray*}$ ist ja: bei multiplikation gleicher basen, werden die exponenten addiert.
kannst du das $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} = -(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$ evtl. auch so in worte fassen? *lieb guck*
oder ist das evtl folgendes:?

$\begin{eqnarray*} -(-1)^{n-1} = (-1)^{1} * (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1+1}=(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ ??
ich glaub ich habs xD

09.01.2012, 17:28

Mulder

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RE: n-te Ableitung von f(x) = ln(x)

Zitat:

Original von Animal.21
hmm, also $\begin{eqnarray*} x^{2}*x^{3}=x^{6} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nun wirklich nicht. Aber ich denke mal, es ist ein Tippfehler.

Zitat:

Original von Animal.21
$\begin{eqnarray*} -(-1)^{n-1} = (-1)^{1} * (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1+1}=(-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Genau so geht's.

09.01.2012, 18:12

Animal.21