Grenzwert vom ln(x)

08.01.2012, 19:34

stealth_mx

Grenzwert vom ln(x)

Hallo habe ein Problem mit dem Grenzwert folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln(x)}{x^a} , a > 0 \end{eqnarray*}$

Durch l'Hospital sehe ich das der Zähler immer kleiner wird.Also mit der n-ten Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{x^n} \end{eqnarray*}$

Der Nenner wird zu: $\begin{eqnarray*} a!x^{a-n} \end{eqnarray*}$

Ich denke es gibt keinen Grenzwert aber formuliert man sowas? Bzw wie zeige ich das?

08.01.2012, 19:41

Mulder

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RE: Grenzwert vom ln(x)
Hmm, so ganz verstehe ich gar nicht, was du da machst. Wieso die n-te Ableitung? Welche Bedeutung hat das n?

Du musst nur ein einziges Mal ableiten und dann den Doppelbruch vereinfachen.

Du solltest dich auch immer vergewissern, ob die Voraussetzungen für L'Hospital erfüllt sind. Wenn du einmal abgeleitet hast, solltest du sehen, dass dann die Voraussetzungen für erneute Anwendung von L'Hospital gar nicht mehr erfüllt sind.

08.01.2012, 20:36

stealth_mx

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Die Voraussetzungen hab ich ganz vergessen. Wie finde ich denn heraus ob die Bedinung dafür erfüllt sind?

Die erste Ableitung nach l'hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{ax^{a-1}} \end{eqnarray*}$

08.01.2012, 20:44

Mulder

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Zitat:

Original von stealth_mx
Wie finde ich denn heraus ob die Bedinung dafür erfüllt sind?

Wenn du das nicht weißt, dann schlag die Definition halt nochmal nach. Da steht's doch drin.

Zitat:

Original von stealth_mx

Die erste Ableitung nach l'hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{ax^{a-1}} \end{eqnarray*}$

Ja, und warum machst du jetzt nicht weiter?

08.01.2012, 21:06

stealth_mx

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Das Problem ist, dass wir das noch nicht hatte, ich habe jetzt aus dem Skript entnommen:

lim f = lim g = 0

oder

lim g = oo oder -oo
weiter muss g' ungleich null sein.

In dem Fall ist g' jedoch null: ax^(a-1)=0

Bedeutet das, dass die Regel nicht greift und ich kann L'Hospital nicht anwenden?

08.01.2012, 21:11

Mulder

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Sehr schwammig formuliert alles, aber ich nehme mal an, du meinst das richtige.

Nein, du kannst L'Hospital nicht nochmal anwenden. Musst du auch gar nicht, du kannst den Grenzwert doch jetzt einfach ablesen.

Zitat:

In dem Fall ist g' jedoch null: ax^(a-1)=0

Wieso? Was ist da null? verwirrt

08.01.2012, 21:23

stealth_mx

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Ehm ich dachte

ax^(a-1)=0 teile durch a:

x^(a-1)=0 Daraus folgt dochs dass die Nullstelle bei null ist, oder etwa nicht?

Der Grenzwert muss dann ja 0 sein, denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x \cdot ax^{a-1}}=0 \end{eqnarray*}$

08.01.2012, 21:57

Mulder

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Zitat:

Original von stealth_mx
x^(a-1)=0 Daraus folgt dochs dass die Nullstelle bei null ist, oder etwa nicht?

x^(a-1) wird null für x=0, ja. Aber das kann uns doch egal sein, wir untersuchen das Verhalten im unendlichen. Augenzwinkern

Der Grenzwert muss dann ja 0 sein, denn

Zitat:

Original von stealth_mx
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x \cdot ax^{a-1}}=0 \end{eqnarray*}$

Jup.

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