Reihenentwicklung

08.01.2012, 19:52	Gauga	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenentwicklung Meine Frage: Ich soll die Taylor-Reihe von f(x) an der Stelle x0=0 gewinnen. $\begin{eqnarray} f(x)=(x^2-2) cosh x +(1+x^2)^\frac{-1}{2} \end{eqnarray}$ Also, wie entwickle ich eine Taylor-Reihe, mit sinh? Da ich nicht einfach so die n-te Ableitung bilden kann. Meine Ideen: Ich weiß das ich cosh auch so anschreiben kann: $\begin{eqnarray} cosh x=\frac{e^{x} +e^{-x} }{2} \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} (1+x^2)^\frac{-1}{2}=(Arcsin x)' \end{eqnarray}$ ist.
08.01.2012, 23:11	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenentwicklung Hallo, eine numerische Analyse ergibt: $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0)=\left\{\begin{array}{cc}0&\text{falls n ungerade}\\\\(-1)^{\frac n2}\cdot\left(\prod\limits_{i = 1}^{\frac n2 - 1}(2 i + 1)\right)^2+(n + 1)(n - 2)&\text{falls n gerade}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Alle Teile mit x im Zähler werden nachher Null, auch die mit sinh(x) werden null, da sinh(0)=0. Die Brüche ohne x im Zähler haben $\begin{eqnarray} (1+x^2)^{\frac xy}, x,y\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ im Nenner und damit gleich ihrem Zähler, der dem rechten Teil der Gleichung folgt. Was noch bei cosh(x) steht muss auch beachtet werden, da cosh(0)=1. Z.B. ist die 8. Abl. von f $\begin{eqnarray} &&f^{(8)}(x)\frac{2027025 x^8}{{\left(1 + x^2\right)}^{\frac{17}{2}}} - \frac{3783780 x^6}{{\left(1 + x^2\right)}^{\frac{15}{2}}} + \frac{2182950 x^4}{{\left(1 + x^2\right)}^{\frac{13}{2}} }-\frac{396900 x^2}{{\left(1 + x^2\right)}^{\frac{11}{2}}} + \frac{11025}{{\left(1 + x^2\right)}^{\frac 92}} + 56 \cosh(x) + (-2 + x^2) \cosh(x) + 16 x \sinh(x)\\\\&&\stackrel{x\to0}{\Longrightarrow}\frac{11025}1 +56\cdot1-(2+0)\cdot1=11079\\&&=(3\cdot5\cdot7)^2+9\cdot6 \end{eqnarray*}$ LG Hoodaly

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