AWP mit Picard-Lindelöf Iteration lösen

08.01.2012, 20:43

Shizorano

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AWP mit Picard-Lindelöf Iteration lösen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll folgendes AWP mit Picard-Lindelöf-Iteration lösen:
$\begin{eqnarray*} y' = \sqrt{x^2+y-1 }, y(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich bin ratlos. Habe mir auch alle Threads zu diesem Thema und mein Script angeguckt.

Bitte Hilfe

08.01.2012, 21:02

Helferlein

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Du startest mit einer möglichst einfachen Funktion und ermittelst dann durch Integration der DGL iterativ eine Funktionsfolge, die (hoffentlich) gegen die Lösungsfunktion konvergiert.

08.01.2012, 21:28

Shizorano

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Einer einfachen Funktion für y?

Integration der DGL? Der kompletten DGL?
Wie soll das aussehen?

08.01.2012, 21:35

Helferlein

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Hast Du Dir das Verfahren überhaupt angeschaut?

Wegen $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ startest Du mit der konstanten Funktion $\begin{eqnarray*} y_0(x)=1 \end{eqnarray*}$
Dann nutzt Du die Differentialgleichung in der Form

$\begin{eqnarray*} y(x)=1+\int_{0}^x \sqrt{t²+y(t)-1}~dt \end{eqnarray*}$

und ermittelst so ein $\begin{eqnarray*} y_1(x) \end{eqnarray*}$ usw.

08.01.2012, 22:35

Shizorano

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Ja ich habe mir das Verfahren angesehen, jedoch - und deswegen frage ich - verstehe ich es nicht.

Aber weiter voran:
$\begin{eqnarray*} y_{1}(x) = 1 + \int_0^x \! \sqrt{t^2 + y - 1} \, dt \end{eqnarray*}$

Also als Stammfunktion ergibt sich für mich:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * (\sqrt{t^2 + y - 1})^{\frac{3}{2}} * \frac{1}{\frac{1}{3} t^3 + t + \varphi} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion von y(t) sein soll, aber ich habe keine Ahnung wie die aussehen soll!!

08.01.2012, 23:56

Helferlein

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Für das y unter der Wurzel nimmt man natürlich auch die Näherungsfunktion, also $\begin{eqnarray*} y_0(t) \end{eqnarray*}$ .

Das Iterationsverfahren sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} y_{n+1}(x)=1+\int_{0}^x \sqrt{t²+y_n(t)-1}~dt \end{eqnarray*}$

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09.01.2012, 00:12

Shizorano

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Nun bekomme ich folgendes heraus:
$\begin{eqnarray*} y_{1}(x) = 1+ \left[ \frac{2}{3} * (\sqrt{t^2 + 1 - 1})^{\frac{3}{2}} * \frac{1}{\frac{1}{3} t^3} \right]_{0}^{x}<br /> = 1+ \left[ \frac{2\sqrt{t^3}}{t^3} \right]_{0}^{x} \end{eqnarray*}$

Kann man das noch kürzen? Denn so kann ich doch nicht weiter machen, da ja 0 eingesetzt werden soll... , oder?

09.01.2012, 01:28

Helferlein

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Wie bist Du bitte auf diese Funktion gekommen?

$\begin{eqnarray*} y_{1}(x)=1+\int_{0}^x \sqrt{t²+1-1}~dt = 1+\int_{0}^x |t|~dt \end{eqnarray*}$

Gehen wir von positiven x aus, dann ist das nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} y_1(x)=1+\frac 12 x² \end{eqnarray*}$

Das setzt Du wieder in die Iteration ein und bestimmst $\begin{eqnarray*} y_2(x) \end{eqnarray*}$ usw.

09.01.2012, 06:54

Gast11022013

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Wenn ich mich kurz einmischen darf: Das Prinzip wird z.B. sehr detailiert im Aulbach, "Gewöhnliche Differentialgleichungen" beschrieben. Ich weise nur darauf hin, weil mir das "damals" sehr geholfen hat. Natürlich gibt's auch andere gute Bücher zu der Thematik (soll also keine Schleichwerbung sein).

09.01.2012, 09:44

Shizorano

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Zitat:

Original von Dennis2010

Wenn ich mich kurz einmischen darf: Das Prinzip wird z.B. sehr detailiert im Aulbach, "Gewöhnliche Differentialgleichungen" beschrieben. Ich weise nur darauf hin, weil mir das "damals" sehr geholfen hat. Natürlich gibt's auch andere gute Bücher zu der Thematik (soll also keine Schleichwerbung sein).

Danke für den Tipp. Ich hoffe ich finde die Zeit mir das mal anzugucken!

Zitat:

Original von Helferlein
Wie bist Du bitte auf diese Funktion gekommen?

Wenn ich das richtig sehe, dann habe ich anscheinend erst aufgeleitet und dann eingesetzt, was unweigerlich zu einem Fehler führt(e). Aber weiter im Text...

Zitat:

Original von Helferlein

$\begin{eqnarray*} y_1(x)=1+\frac 12 x² \end{eqnarray*}$

Das setzt Du wieder in die Iteration ein und bestimmst $\begin{eqnarray*} y_2(x) \end{eqnarray*}$ usw.

Dann ist:
$\begin{eqnarray*} y_{2}(x) = 1 + \frac 12 x² + \frac{\sqrt{1,5}}{2}x²<br /> = 1 + \frac{1+ \sqrt{1,5}}{2}x² \end{eqnarray*}$

Irgendwie beschleicht mich das gefühl, dass das falsch ist!

09.01.2012, 16:35

Shizorano

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Zitat:

Original von Shizorano

Dann ist:
$\begin{eqnarray*} y_{2}(x) = 1 + \frac 12 x² + \frac{\sqrt{1,5}}{2}x²<br /> = 1 + \frac{1+ \sqrt{1,5}}{2}x² \end{eqnarray*}$

Weiter bin ich jetzt auf folgendes gekommen:
$\begin{eqnarray*} y_{3}(x) = 1 + \frac{1+ \sqrt{1,5}}{2}x² + \frac{\sqrt{3+\sqrt{1,5}}}{2}x²<br /> = 1 + \frac{1+ \sqrt{1,5}+\sqrt{3+\sqrt{1,5}}}{2}x² \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun weiter mache erhalte ich eine immer größer werdende Summe im Nenner des x². Jetzt soll das gegen etwas konvergieren?
Ich tippe jetzt mal in den Raum hinein, dass da irgendwie etwas der Form
$\begin{eqnarray*} y(x) = 1+ cx² \end{eqnarray*}$

Aber wie seht dann mein c aus?

09.01.2012, 20:15

Helferlein

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Am einfachsten setzt Du diese Funktion in die DGL ein, dann kannst Du das c bestimmen.
Solltest Du die Aufgabe komplett mit Picard-Lindelöff zu Ende rechnen, dann müsstest Du schauen, dass Du einen Grenzwert der Funktionenfolge bestimmen kannst. Zum Beispiel indem Du einen Formel für y_k erkennst, die Du dann mittels Induktion beweist und deren Grenzwert Du bestimmst. Ist aber um einiges schwieriger wie die Einsetz-Methode.

10.01.2012, 08:48

Shizorano

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Also y(x) = 1+cx² . Dann ist y'(x) = 2cx

Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x² + y(x) -1} = y'(x)<br /> \Leftrightarrow \sqrt{x² + 1 + cx² -1} = 2cx<br /> \Leftrightarrow \sqrt{(1+c)x²} = 2cx<br /> \Leftrightarrow \sqrt{1+c} * x = 2cx<br /> \Leftrightarrow 1+c = 4c²<br /> \Leftrightarrow 0 = c² - \frac 14 c - \frac 14 \end{eqnarray*}$

dann löse ich mit der PQ-Formal auf:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c_1 = \frac{1 + \sqrt17}{2} \wedge c_2 = \frac{1 - \sqrt17}{2} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt das $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ als endgültiges nehmen, da...

10.01.2012, 09:49

Shizorano

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... , da die Summe des Zählers in obiger Rechnung nie negativ wird, als dass sie gegen $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ konvergieren könnte!

So würde als endgültige Funktion herauskommen:
$\begin{eqnarray*} y(x) = 1 + \frac{1+\sqrt{17} }{2} x² \end{eqnarray*}$

Ist das so (endgültig) richtig? Bitte nur eben um eine kurze Rückmeldung!

Danke schonmal!

10.01.2012, 13:54

Helferlein

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Ja und nein.
Wir sind bislang immer von x>0 ausgegangen, den Fall x<0 haben wir noch nicht betrachtet. Die Lösung ist also nur der Lösungszweig für positive x.
Für negative x müsstest Du die Überlegung noch einmal durchrechnen.

10.01.2012, 16:19

Shizorano

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Zitat:

Original von Helferlein
Für negative x müsstest Du die Überlegung noch einmal durchrechnen.

Für die negativen x müsste das gleich gelten da ja $\begin{eqnarray*} y(x) = y(-x) \end{eqnarray*}$ gilt!

10.01.2012, 16:26

Helferlein

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Woher nimmst Du diese Erkenntnis? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ ist aufgrund der DGL immer positiv. Wenn man das ermittelte y(x) ableitet, kommt aber für negative x etwas negatives heraus.

Du musst schon die einzelnen Schritte durchgehen und schauen, wo wir x>0 ausgenutzt haben.

10.01.2012, 16:37

Shizorano

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Für x < 0 folgt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x² + y(x) -1} = y'(x)<br /> \Leftrightarrow \sqrt{x² + 1 + cx² -1} = -2cx<br /> \Leftrightarrow \sqrt{(1+c)x²} = -2cx<br /> \Leftrightarrow \sqrt{1+c} * x = -2cx<br /> \Leftrightarrow 1+c = -4c²<br /> \Leftrightarrow 0 = c² + \frac 14 c + \frac 14 \end{eqnarray*}$

dann löse ich wieder mit der PQ-Formal auf:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c_3 = \frac{1 + \sqrt{-15}}{2} \wedge c_4 = \frac{1 - \sqrt{-15}}{2} \end{eqnarray*}$ ??

Geht das denn? Darf c komplex sein? Auf meinem Arbeitsblatt steht leider dazu nichts!

10.01.2012, 16:50

Helferlein

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Wir haben schon viel früher x>0 vorausgesetzt:

Zitat:

Original von Helferlein
$\begin{eqnarray*} y_{1}(x)=1+\int_{0}^x \sqrt{t²+1-1}~dt = 1+\int_{0}^x |t|~dt \end{eqnarray*}$

Gehen wir von positiven x aus, ...

Für negative x müssen wir hier schon anders ansetzen:
$\begin{eqnarray*} y_{1}(x)=1+\int_{x}^0 \sqrt{t²+1-1}~dt = 1+\int_{x}^0 |t|~dt=1-\frac12x^2 \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 18:00

Shizorano

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Also... mal ein wenig weiter gerechnet:
$\begin{eqnarray*} y_2(x) = 1- \frac 12 x² + \int_{x}^0 \sqrt{t² -\frac 12 t²} ~dt<br /> = 1- \frac 12 x² - \frac{\sqrt2}{4}x²<br /> = 1 - \frac{2-\sqrt2}{4} x²<br /> <br /> y_3(x) = 1 - \frac{2-\sqrt2}{4} x² + \int_{x}^0 \sqrt{t²- \frac{2-\sqrt2}{4} t²}~dt<br /> = 1 - \frac{2-\sqrt2}{4} x² - \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}x²<br /> = 1 - \frac{2-\sqrt2 -\sqrt{2-\sqrt2}}{4} x² \end{eqnarray*}$

Also läuft das ganze wieder auf ne Funktion der Form $\begin{eqnarray*} y(x) = 1-cx² \end{eqnarray*}$ hinaus,oder?

Dann muss ich ja wieder das c bestimmen:
$\begin{eqnarray*} y(x) = 1-cx² \Rightarrow y'(x) = -2cx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²+1-cx²-1} = -2cx<br /> \Rightarrow \sqrt{1-c}x= -2cx<br /> \Rightarrow 1-c = 4c²<br /> \Rightarrow 0 = c² +\frac 14 c - \frac 14 \end{eqnarray*}$

Nach pq-Formel kommt dann:

$\begin{eqnarray*} c_3 = - \frac{1 + \sqrt{17}}{8} \wedge c_4= - \frac{1 - \sqrt{17}}{8} \end{eqnarray*}$

Soweit! Sogut?

10.01.2012, 18:47

Helferlein

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Sieht ok aus, wobei Du noch beachten musst, dass der Wurzelterm nur für c<1 definiert ist.

10.01.2012, 19:03

Shizorano

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Also habe ich im Endeffekt 4 Gleichungen die das AWP erfüllen!?

$\begin{eqnarray*} y(x) = 1 +c_{1,2,3,4}x² \end{eqnarray*}$

,wobei

$\begin{eqnarray*} c_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}<br /> c_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}<br /> c_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}<br /> c_4= \frac{1 - \sqrt{17}}{8} \end{eqnarray*}$

Dann hoffe ich mal, dass es dafür auch entsprechend Punkte gibt =D

10.01.2012, 19:05

Helferlein

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Nein ,hast du nicht.
Die DGL setzt ja voraus, dass die rechte Seite (y') größer gleich Null ist und das ist nur für zwei c-Werte der Fall, wobei wir eine geteilte Funktion haben. Nämlich einen linken Ast und einen rechten Ast.
Die Lösung selber ist eindeutig.

10.01.2012, 20:05

Shizorano

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Zitat:

Original von Helferlein

Die Lösung selber ist eindeutig.

Ich sehe grade, dass ich oben mist hingeschrieben habe:

Ich nämlich alles grade ordentlich zur Abgabe am abschreiben und habe gemerkt, dass für x > 0 bei y(x) = 1 + c_1 x² mit
$\begin{eqnarray*} c_1 = \frac{1+\sqrt{17}}{8} \end{eqnarray*}$
und für x < 0 bei y(x) = 1 - c_2 x² mit
$\begin{eqnarray*} c_2 = - \frac{1+\sqrt{17}}{8} \end{eqnarray*}$
herauskommt!
Wenn wir nun jeweils einsetzten, kommt ja dieselbe Funktion heraus!
Ist dies dann die eindeutige Lösung der Dgl?

10.01.2012, 20:49

Helferlein

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Immer noch dasselbe Argument: Wenn c<0, dann ist $\begin{eqnarray*} y'=-2cx<0 \end{eqnarray*}$ für x<0.

Wie soll dann $\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{x^2+y-1}\geq0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein?

Es muss ein positives c herauskommen, damit die DGL gelöst wird.

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