Eulersche Zahl

08.01.2012, 21:16

Tenne

Eulersche Zahl

Ich habe die Aufgabe die kartesische Darstellung folgender Aufgabe anzugeben.

4e^((i*pi)/6)

(Entschuldigt die Schreibweise, aber ich habe jetzt eine halbe Stunde lang versucht, das mit latex zu lösen).

Als Ergebnis soll da 2*wurzel3 + 2i rauskommen.
Ich habe mir hier nen wolf gerechnet und auch schon einige Sachen rausgefunden...

e^î*pi = -1

Wodurch ich mir als Zwischenschritt 6teWurzel aus -1 erklären kann...
Wie allerdings wird die 4 vor dem e mit einbezogen um auf das Endergebnis zu kommen?

Ich bin echt ratlos... Desweiteren würde mich der Quellcode für Latex interessieren damit ich bei meiner nächsten Frage die Sache ein wenig anschaulicher darstellen kann.

08.01.2012, 23:36

Hoodaly

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RE: Eulersche Zahl
Hallo,

also ich habs so gemacht: $\begin{eqnarray*} 4 \cdot e\sp{(i \cdot \pi)/6} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]4 \cdot e\sp{(i \cdot \pi)/6}[/latex]

Die Eulersche Identität liefert: $\begin{eqnarray*} e^{\i*\varphi}=\cos{\varphi}+\i\cdot\sin{\varphi} \end{eqnarray*}$
Also ist dann $\begin{eqnarray*} 4 \cdot e\sp{(i \cdot \pi)/6}=\cos{\frac{\pi}6}+\i\cdot\sin{\frac{\pi}6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ entspricht einem Winkel von 30°, und da ist bekanntermaßen (gleichseitiges Dreieck) $\begin{eqnarray*} \sin{30°}=\frac 12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos{30°}=\frac 12\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

LG Hoodaly

08.01.2012, 23:36

frank09

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Es gilt die Eulersche Formel:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right) \end{eqnarray*}$

Bei Bedarf kannst du beide Seiten auch mit einer Zahl multiplizieren.

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