Modulare Arithmetikaufgabe

08.01.2012, 22:31

GG90

Modulare Arithmetikaufgabe

Meine Frage:
Hallo,
suche für diese Aufgabe die Lösung inkl. Lösungweg.
Vielen Dank im Voraus

Welches x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Z_{21} \end{eqnarray*}$ erfüllt die beiden Gleichungen
x $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1 (mod 3) und x $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 2 (mod 7)?

Meine Ideen:

08.01.2012, 22:40

tmo

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Du wirst hier keine fertigen Lösungen bekommen.

Es gibt nur 3 Zahlen zwischen 1 und 21, die $\begin{eqnarray*} x \equiv 2 \mod 7 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Finde diese 3 Zahlen und schaue welche von denen zusätzlich noch die andere Bedingung erfüllt.

09.01.2012, 11:24

phoo

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stichwort: chinesicher restsatz

tschöö..

09.01.2012, 17:49

GG90

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danke für eure Antworten, komme leider überhaupt nicht weiter mit dieser Aufgabe verwirrt

, daher die Frage nach der Lösung inkl. Lösungsweg, vllt werde ich daraus ja schlau smile

10.01.2012, 22:37

GG90

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Zitat:

Es gibt nur 3 Zahlen zwischen 1 und 21, die $\begin{eqnarray*} x \equiv 2 \mod 7 \end{eqnarray*}$ erfüllen.Finde diese 3 Zahlen und schaue welche von denen zusätzlich noch die andere Bedingung erfüllt.

Komme da auf 9, 16 & 23 wobei 16 noch zusätzlich die andere Bedingung erfüllt, liege ich da richtig?

11.01.2012, 07:36

tmo

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Ja, das ist richtig. So einfach ist das.

Bei solch einer Aufgabe den chin. Restsatz anzuwenden, wäre in meinen Augen haarsträubende Zeitverschwendung und eine Riesengefahr irgendein Fehler zu machen.

11.01.2012, 12:07

GG90

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Würde einfaches ausprobieren mit dem Ergebnis, so wie ich das hier gemacht habe in einer Prüfung ausreichen, gab z.B. bei der hier damals 12 Pkt. oder gibt's da nen bestimmten Lösungsweg ?

11.01.2012, 12:13

René Gruber

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Du kannst es ja so aufschreiben:

Aus $\begin{eqnarray*} x\equiv 2\bmod 7 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=7k+2 \end{eqnarray*}$ mit einer ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

In $\begin{eqnarray*} x\equiv 1\bmod 3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} 7k+2\equiv k+2\equiv 1\bmod 3 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} k\equiv -1\equiv 2\bmod 3 \end{eqnarray*}$ , im Gesamtergebnis dann $\begin{eqnarray*} x\equiv 7\cdot 2 + 2 = 16\bmod 21 \end{eqnarray*}$ .

Sieht das "seriös genug" aus? Augenzwinkern

11.01.2012, 12:18

GG90

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super, danke für die schnelle Antwort smile

12.01.2012, 22:11

GG90

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So jetzt habe ich eine andere Aufgabe durchgerechnet bei der man mittels chinesischem Restsatz das x bestimmen muss, irgendwo mache ich aber immer einen Fehler, denn ich bekomme das x nur für 2 anstatt für die 3 Bedingungen raus.
Hier mal die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x \equiv 1 \bmod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \equiv 3 \bmod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \equiv 5 \bmod 11 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis wäre 115, aber bekomme stattdessen 82 raus. (Für die erste und dritte geht die 82)
Hier mal die Berechnung:

M1= 77, M2= 33, M3=21

N1 = $\begin{eqnarray*} N1*77 \equiv 1 \bmod 3 \end{eqnarray*}$ => N1= $\begin{eqnarray*} 2 \equiv 1 \bmod 3 \end{eqnarray*}$

N2 = $\begin{eqnarray*} N2* 33 \equiv 3 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ => N2 = $\begin{eqnarray*} 5 \equiv 3 \bmod 7 \end{eqnarray*}$

N3 = $\begin{eqnarray*} N3* 21 \equiv 5 \bmod 11 \end{eqnarray*}$ => N3 = $\begin{eqnarray*} 10 \equiv 5 \bmod 11 \end{eqnarray*}$

1*77*2+3*33*5+5*21*10=1699 (mod 231) => 82 (mod 231)

Wo mache ich den Fehler?

Gruß

13.01.2012, 03:26

GG90

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hat sich leider ein Fehler eingeschlichen
bei der berechnung von N1,2,3 müsste es so aussehen
$\begin{eqnarray*} ...\equiv 1 \bmod 5 \end{eqnarray*}$ => N1=...
$\begin{eqnarray*} ...\equiv1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ => N2=...
$\begin{eqnarray*} ...\equiv1 \bmod 11 \end{eqnarray*}$ => N3=...

hat aber nichts damit zu tun mit dem eigentlichem Fehler, hatte das nur falsch abgetippt Augenzwinkern

13.01.2012, 10:26

René Gruber

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Das ist nicht der einzig verwirrende Fakt deiner Darstellung: Wenn am Ende dieser Zeilen man Gleichungen wie

$\begin{eqnarray*} N_1 = 2 \equiv 1 \bmod 3 \end{eqnarray*}$

liest, dann kann man das nur als falsch bezeichnen. Sei also etwas vorsichtiger, wenn du zwischen irgendwelche Gleichungen dann noch solche Relationszeichen setzt, so dass man das irrtümlicherweise als Fortsetzung der Gleichung/Kongruenz lesen kann. unglücklich

Zu den Kongruenzen:

Die zweite Kongruenz $\begin{eqnarray*} 33N_2 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ hast du mit $\begin{eqnarray*} N_2\equiv 5\bmod 7 \end{eqnarray*}$ gelöst? Oder doch mit $\begin{eqnarray*} N_2\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ wie es am Ender der Zeile steht? Letzteres wäre richtig, ersteres dann natürlich nicht.

13.01.2012, 12:32

GG90

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mit $\begin{eqnarray*} N_2\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ habe ich es gelöst

13.01.2012, 13:01

René Gruber

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Zitat:

Original von GG90
mit $\begin{eqnarray*} N_2\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ habe ich es gelöst

Du meinst, so hast du es jetzt gelöst.

Zitat:

Original von GG90
1*77*2+3*33*5+5*21*10=1699 (mod 231) => 82 (mod 231)

Hier nämlich offenbar noch mit der falschen 5, wie ich erst jetzt sehe!

13.01.2012, 14:16

GG90

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wie meinst du das mit der falschen 5 ?
$\begin{eqnarray*} N_2 \equiv 5 \bmod 7 \end{eqnarray*}$
wie kommst du eigentlich darauf? hatte doch von anfang an $\begin{eqnarray*} N_2 \equiv 3 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ stehen

13.01.2012, 14:25

René Gruber

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Am Anfang hast du das wirre

Zitat:

Original von GG90
N2 = $\begin{eqnarray*} N2* 33 \equiv 3 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ => N2 = $\begin{eqnarray*} 5 \equiv 3 \bmod 7 \end{eqnarray*}$

stehen, da soll man sich wohl das richtige (5 ? oder doch 3?) raussuchen ... So geht es nicht.

Und in

Zitat:

Original von GG90
1*77*2+3*33*5+5*21*10=1699 (mod 231) => 82 (mod 231)

hast du nun mal nicht mit 3, sondern mit 5 gerechnet - dies abzustreiten ist einfach unwürdig. Mit 3 gerechnet ergibt sich das richtige Ergebnis

1*77*2+3*33*3+5*21*10=1501 (mod 231) => 115 (mod 231)

13.01.2012, 19:17

GG90

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$\begin{eqnarray*} N_2 * 33 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 5 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$
so hatte ich das jetzt gerechnet, leider vorhin so viele Fehler drinen gehabt tut mir leid unglücklich

13.01.2012, 21:08

René Gruber

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Zitat:

Original von GG90
$\begin{eqnarray*} N_2 * 33 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 5 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$

Ist es wirklich zuviel verlangt, dass du dich (zumindest einigermaßen) an die übliche Symbolik hältst???

Das was du hier geschrieben hast, würde man in der Symbolik so deuten:

Zitat:

Aus $\begin{eqnarray*} N_2 * 33 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} 5 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und das wäre einfach horrender Unsinn. unglücklich

Alle Welt schreibt an der Stelle

$\begin{eqnarray*} N_2 \cdot 33 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} N_2\cdot 5 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ ,

warum du nicht? Warum lässt du nach Belieben mal das eine oder andere Symbol weg? Das ist einfach nur grausam anzuschauen. Finger2

Ich hätte diesen Vortrag nicht gehalten, wenn das hier eine einmalige Ausnahme gewesen wäre. Aber der ganze Thread ist von diesem Mist durchzogen und führt ständig zu Irritationen und Kopfzerbrechen, was du denn da gerade treibst. unglücklich

13.01.2012, 21:59

GG90

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Ja ok, ich weiß das ich da ein bisschen was chaotisches fabriziert habe, und habe ja schon einen Beitrag drüber gesagt das es mir leid tut und nehme jeden Rat dankend an Mit Zunge

, aber verstehe immer noch nicht wie man auf die $\begin{eqnarray*} N_2 = 3 \end{eqnarray*}$ kommt verwirrt

13.01.2012, 22:29

René Gruber

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Zitat:

Original von GG90
Ja ok, ich weiß das ich da ein bisschen was chaotisches fabriziert habe, und habe ja schon einen Beitrag drüber gesagt das es mir leid tut

Aber du änderst dein Verhalten nicht, wie du im selben Beitrag bewiesen hast - da pfeife ich auf die Entschuldigungen. böse

"Bisschen" ist übrigens eine ziemliche Verharmlosung: Wenn man statt Multiplikationszeichen * ein Gleichheitszeichen = schreibt, dann kann man das schon für bewusste Irreführung halten. unglücklich

-------------------------------

Ok, aus $\begin{eqnarray*} 33N_2\equiv 1\bmod 7 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 5N_2\equiv 1\bmod 7 \end{eqnarray*}$ , soweit warst du ja schon - in deiner furchtbaren Symbolik eben. Nun ist auch $\begin{eqnarray*} 1\equiv 1+2\cdot 7 = 15\bmod 7 \end{eqnarray*}$ , also auch

$\begin{eqnarray*} 5N_2\equiv 15\bmod 7 \end{eqnarray*}$

"Division" durch 5 ergibt $\begin{eqnarray*} N_2\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ .

13.01.2012, 23:05

GG90

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danke für deine Antwort, habe jetzt aber noch eine letzte Frage, warum muss man, wenn man $\begin{eqnarray*} 5N_2 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ hat eben so Verfahren, wie du es mir vorgerechnet hast um die 3 rauszubekommen?
Bei den anderen beiden Bedingungen hat es ja ausgreicht nur die N's abzulesen und in meinem Buch wird dieser weitere Schritt leider auch nicht angegeben/erklärt unglücklich

13.01.2012, 23:18

René Gruber

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Dann tust du hier mit der Lösung dieser Aufgabe zum Chinesischen Restsatz offenbar den zweiten Schritt vor dem ersten: Das A und O ist doch erstmal, lineare Kongruenzen

$\begin{eqnarray*} ax \equiv b \bmod m \end{eqnarray*}$

lösen zu können. Das werde ich jetzt gewiss hier nicht alles ausbreiten, bin doch kein Lehrbuch. Da ist mal etwas Eigeninitiative von dir gefragt.

14.01.2012, 00:20

GG90

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Habe es nun so gelöst und als ersten Schritt eben den erweiterten euklidischen Algorhythmus angewendet:

$\begin{eqnarray*} 26 \cdot 3 + (-1) \cdot 77 = 1 \end{eqnarray*}$ ,also $\begin{eqnarray*} e_1 = -77<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-14) \cdot 7 + 3 \cdot 33 = 1 \end{eqnarray*}$ ,also $\begin{eqnarray*} e_2 = 99<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 11 + (-1) \cdot 21 = 1 \end{eqnarray*}$ ,also $\begin{eqnarray*} e_3 = -21<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -77 \cdot 1 + 99 \cdot 3 + (-21) \cdot 5 = 115<br /> \end{eqnarray*}$

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