DGL mit Trennung der Variablen

08.01.2012, 22:36

31459

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DGL mit Trennung der Variablen

Meine Frage:
Hey,
bin dabei eine DGL mit Trennung der Variablen zu lösen, komme aber schon seit Stunden nicht weiter unglücklich

unglücklich

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{y}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \frac{y}{3x^2} \end{eqnarray*}$

... x und y auf jeweils eine Seite bringen und integrieren:
$\begin{eqnarray*} x^3 + C1 = \frac{y^2}{2} + C2 \end{eqnarray*}$

... wenn ich nun C1 und C2 zusammenfasse, komme ich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} x^3+C = \frac{y^2}{2} \end{eqnarray*}$

... nach y aufgelöst, komme ich auf folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2(x^3+C)} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen? Ich soll zu der allgemeinen Lösung eine Probe machen. Nur weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll :/

Besten Dank im Voraus smile

smile

08.01.2012, 22:45

Mulder

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RE: DGL mit Trennung der Variablen

Zitat:

Original von 31459
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \frac{y}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Links muss nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd y} \end{eqnarray*}$ stehen, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ .

Kleiner, aber feiner Unterschied. y' bezeichnet doch die Ableitung von y nach x, und nicht die Ableitung von x nach y.

08.01.2012, 22:46

Kimi_R

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RE: DGL mit Trennung der Variablen

Zitat:

Original von 31459
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{y}{3x^2} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \frac{y}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Deine Lösung passt nicht. Und zwar steckt der Fehler im von mir Zitierten:
Es gilt nämlich:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} y' = \frac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$

08.01.2012, 23:06

31459

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stimmt... Verdammt, da habe ich mich direkt zu Anfang verzettelt :/

Wenn ich es "richtig" rechne, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} ln(y) + C = ln(3x^2) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

08.01.2012, 23:10

Mulder

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Nein. Wie du 1/(3x^2) integrierst, solltest du doch eigentlich wissen. Nicht jeder Bruch führt automatisch auf den Logarithmus beim Integrieren.

-> Integriere ganz normal mit der Potenzregel (du kannst das vorher mit Potenzgesetzen umschreiben).

Leite ln(3x^2) doch mal wieder ab zur Kontrolle, dann siehst du, dass das völlig falsch ist.

08.01.2012, 23:26

31459

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Ouha, ich verzettel mich hier ohne Ende... Sorry dafür :/

Es lautet natürlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3}x^-2 \end{eqnarray*}$ ... integriert = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$

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08.01.2012, 23:39

31459

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irgendwie steckt der Teufel heute im Detail....

Also noch mal von vorne:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy * 3x^2 = dx * y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=\frac{dx}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{3x^2}=\frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2012, 23:56

Mulder

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Zitat:

Original von 31459
Ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{3x^2}=\frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Findest du nicht, dass das sehr sinnlos aussieht?

Zitat:

Original von 31459
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=\frac{dx}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Integrier da jetzt einfach auf beiden Seiten und löse nach y auf.

09.01.2012, 00:11

31459

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von 31459
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y}=\frac{dx}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Integrier da jetzt einfach auf beiden Seiten und löse nach y auf.

$\begin{eqnarray*} ln(y) = -\frac{1}{3x}+C \end{eqnarray*}$

Right?

09.01.2012, 03:00

Mulder

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Ich denke, wir wollen hier doch auch irgendwann mal zum Ziel kommen, oder? Du musst dir nicht jeden Minischritt erst noch bestätigen lassen, mach einfach weiter. Den Rest schaffst du ja jetzt sicher, also schreib weiter und dann kann man dir dein Ergebnis auch bestätigen, wenn du magst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2012, 03:21

31459

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Hm, klar will ich ans Ziel kommen. Nur habe ich Probleme mit der Integrationskonstanten....

Komme auf folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} y = e^{-\frac{1}{3x}+C } \end{eqnarray*}$

09.01.2012, 04:25

Mulder

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Das ist ja soweit auch okay. Man macht nun im Allgemeinen folgendes:

$\begin{eqnarray*} y = e^{-\frac{1}{3x}+C } = e^C \cdot e^{-\frac{1}{3x} } \end{eqnarray*}$

Aus diesem $\begin{eqnarray*} e^C \end{eqnarray*}$ kann man nun wieder eine neue Konstante machen: $\begin{eqnarray*} e^C := \tilde c \end{eqnarray*}$

So erwischt man auch die Lösungen mit negativem Vorfaktor (denn die e-Funktion ist ja immer positiv) und hat dann wirklich die komplette Lösungsmenge deiner DGL:

$\begin{eqnarray*} y = \tilde c \cdot e^{-\frac{1}{3x} } \, \, , \, \, \tilde c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Du kannst das ja überprüfen, indem du das in deine DGL einsetzt. Bestimme y', dann siehst du, dass das hinhaut.

09.01.2012, 15:21

31459

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Vielen Dank für deine Hilfe!! smile

smile

Und das um 4 Uhr nachts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Setze nun mein errechnetes y und die DGL ein:

$\begin{eqnarray*} y'= \frac{C*e^{-\frac{1}{3x}} }{3x^2} \end{eqnarray*}$

Demnach würde gelten:

$\begin{eqnarray*} C*e^{-\frac{1}{3x} } * \frac{1}{3x^2} = C*e^{-\frac{1}{3x} } * \frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$

... und damit wäre die Probe erbracht?! Aussage ist wahr....

Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

09.01.2012, 22:04

31459

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... nochmal kurz zur Probe, habe mich im vorigen Beitrag - glaube ich - geirrt!

Ich bestimme nun y' von meinem errechneten y:

$\begin{eqnarray*} y=C*e^{-\frac{1}{3x} } \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} y' = {-\frac{1}{3} } *e^{-\frac{1}{3x}} * ln(e) \end{eqnarray*}$

Und nun setze ich das errechnete y und das y' in meine DGL, dann siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^{-\frac{1}{3x} }* ln(e) = \frac{C*e-\frac{1}{3x} }{3x^2} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung stimmt so doch gar nicht? geschockt

geschockt

Zumal die Konstante C auf der rechten Seite vorkommt.....

Sorry, komme an dem Punkt einfach nicht weiter Forum Kloppe

Forum Kloppe

09.01.2012, 22:19

Mulder

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Hmm? War doch alles richtig. Was du jetzt geschrieben hast, ist falsch. Im Exponenten steht doch $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{3x} \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung davon ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$ .

Du hast jetzt so abgeleitet, als würde im Exponenten $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$ stehen - aber das stimmt ja gar nicht.

Was du um 15:21 Uhr geschrieben hast, ist völlig richtig.

09.01.2012, 22:33

31459

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Stimmt! Asche über mein Haupt... Hatte ne Klammer in Maple falsch gesetzt Hammer

Hammer

Eine Sache gibt es noch, die mir nicht ganz in den Kopf geht....

Wenn ich y ableite, fällt die Konstante c weg....

Dann müsste die Probe ja eeeeigentlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{3x} } * \frac{1}{3x^2} = C * e^{-\frac{1}{3x} } * \frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$

... oder habe ich was übersehen?

09.01.2012, 22:35

Mulder

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Konstante Summanden fallen beim Ableiten weg. Hier ist das C aber ein konstanter Vorfaktor. Der wird beim Ableiten einfach "mitgeschleppt", das sagt dir die

Faktorregel.

09.01.2012, 22:38

31459

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Hast Recht!

Ouh man, war das ne schwierige Geburt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke nochmals für alles....

Gruß

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