Eine Frage zum Rotationsvolumen

09.01.2012, 00:34

Goldrausch

Eine Frage zum Rotationsvolumen

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zum Rotationsvolumen.
Wem ich das Rotationsvolumen von einer Normalparabel berechne die sich um die y- Achse dreht wo liegen hier die Integrationsgrenzen. Auf der x oder y Achse

Umd wo liegen die Integrationsgrenzen bei einer Parabel die sich um die x-Achse dreht

Meine Ideen:
Also Ich sehe vor dem Problem ob es ein Unterschied ist ob die Parabel steht oder liegt (wenn die Integrationsgrenzen die selben sind z.B. 0 und 2)

09.01.2012, 01:11

Dopap

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RE: Eine Frage zum Rotationsvolumen

Zitat:

Original von Goldrausch
Meine Frage:
Ich habe eine Frage zum Rotationsvolumen.
Wem ich das Rotationsvolumen von einer Normalparabel berechne die sich um die y- Achse dreht wo liegen hier die Integrationsgrenzen. Auf der x oder y Achse

am besten sind Grenzen auf der y-Achse z.B 1 und 9

$\begin{eqnarray*} V_y= \pi \int _1^9 ~ x^2 \dd y \end{eqnarray*}$ und mit y=x^2

$\begin{eqnarray*} V_y= \pi \int _1^9 ~ y \,\dd y \end{eqnarray*}$

wenn aber beim selben Problem x1= 2 und x2= 4 gewesen wären, dann hättest du die Grenzen auf $\begin{eqnarray*} y_1= 2^2=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2=4^2 = 16 \end{eqnarray*}$ umrechnen müssen.

Dasselbe gilt sinngemäss, wenn die Parabel "liegt", also $\begin{eqnarray*} y=\sqrt x \end{eqnarray*}$ ist

10.01.2012, 00:30

Goldrausch

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Sagen wir mal ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie das Rotationsvolumen folgender Parabel: y=x^2
Im Bereich 2 und 4

Ist der Rechenweg und das Ergebnis so richtig ?
[attach]22629[/attach]

10.01.2012, 00:53

Dopap

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wunderschöne Grafik!

leider inhaltslos. Hier ist evtl. alles falsch .

Würde es dem Fragesteller möglich sein zu erklären,

1.) rotiert die Kurve um die y-Achse ?
2.) sind die Grenzen Grenzen auf der y-Achse?
3.) ist damit das "innere" Rotationsvolumen gemeint?

10.01.2012, 12:58

Goldrausch

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1.) rotation um die y- Achse
2.) Grenzen auf der y - Achse
4.) Inneres Volumen ist gesucht

10.01.2012, 21:13

Dopap

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$\begin{eqnarray*} V_y=\pi \int _{y=a}^{y=b} x^2 \,\dd y \end{eqnarray*}$

ist eine Formel. Das x^2 entsteht durch die Rotation und hat nichts mit der Funktion zu tun.
Wenn alles in "y" gerechnet werden soll, dann muss x^2 durch einen Ausdruck in y ersetzt werden.
Es gilt: y=x^2 demnach:

$\begin{eqnarray*} V_y=\pi \int _{y=2}^{y=4} y \,\dd y \end{eqnarray*}$ jetzt ist alles in y geschrieben und kann leicht berechnet werden.

Die 2. Möglichkeit wäre, das Integral auf x zurückrechnen

$\begin{eqnarray*} y=2 \Rightarrow x=\sqrt 2<br /> y=4 \Rightarrow x=\sqrt 4 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^2 \Rightarrow \frac {dy}{dx}=2x \Rightarrow dy=2x dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_y=\pi \int _{x=\sqrt 2}^{x=2} x^2 \cdot 2x \,\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_y=\pi \int _{x=\sqrt 2}^{x=2}2 x^3 \, \dd x \end{eqnarray*}$

das müsste dasselbe Volumen $\begin{eqnarray*} V_y \end{eqnarray*}$ ergeben.

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