Zirkulation eines Vektorfeldes entlang der Einheitskreislinie

09.01.2012, 09:44

Dschoni

Zirkulation eines Vektorfeldes entlang der Einheitskreislinie

Meine Frage:
Hallo Menschen ich stehe an einem wahrscheinlich wirklich einfachen Problem. Es geht um folgendes:
Berechnet werden soll die Zirkulation des Vektorfeldes
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\left(\begin{array}{c} y+4 \\ tanh z +2x \\ cosh (x+y) \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
über den Rand der positiven Einheitshalbkugel.

Meine Ideen:
Die positive Einheitshalbkugel hat denselben Rand wie der Einheitskreis in der x-y Ebene, also kann man nach dem Satz von Stokes über die Fläche des Einheitskreises integrieren (normalenvektor ist dabei der Einheitsvektor in z-Richtung).
$\begin{eqnarray*} \oint_{\partial S} \! \vec{v} \, dr = \int_S\! \nabla \times \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS \end{eqnarray*}$

Durch den einfachen Normalenvektor, bleibt nur die z-Komponente der Rotation übrig, die 1 ergibt, also muss man nur 1 über den Einheitskreis berechnen.
Meiner Meinung nach sollte das also $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ergeben.
Die Lösung sagt aber nur ein pi. Wo hängts?

09.01.2012, 10:55

René Gruber

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Zitat:

Original von Dschoni
Die positive Einheitshalbkugel hat denselben Rand wie der Einheitskreis in der x-y Ebene

Wie kommst du denn zu dieser seltsamen Aussage ??? Das erste ist die Vereinigung zweier Flächen (halbe Kugeloberfläche + Einheitskreisfläche), das andere ist die Einheitskreislinie. unglücklich

09.01.2012, 11:10

Dschoni

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da hab ich mich wohl ungenau ausgedrückt Augenzwinkern

Ich meine die OFFENE positive Halbkugel und die Kreisfläche und beide haben als Rand die Einheitskreislinie Augenzwinkern

09.01.2012, 11:46

René Gruber

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Ah, da hatte ich dich missverstanden.

Wenn du nun aber 1 über den Einheitskrei (Fläche gleich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) integrierst, dann kommt doch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ heraus, also nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ - wo ist dein Problem?

P.S.: Ich hatte die Aufgabe übrigens erst so aufgefasst, dass $\begin{eqnarray*} \nabla \times \vec{v} \end{eqnarray*}$ über den gesamten Rand der Einheitshalbkugel, also

Zitat:

Original von René Gruber
halbe Kugeloberfläche + Einheitskreisfläche

integriert werden soll. Dieses Ergebnis wäre natürlich gleich Null. Augenzwinkern

09.01.2012, 11:52

Dschoni

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Naja, die Einheitskreisfläche ist pi das ist mir klar. Aber wenn ich das ordentlich Integrier, müsste ich doch in ebenen Polarkoordinaten integrieren und da gehen die Grenzen nunmal von 0 bis r (in dem Fall 1) und 0 bis zwo pi. Also der Schritt ist mir nicht klar, warum beim Integral über den Einheitskreis die Fläche rauskommt. (Wobei genau das eigentlich klar und einleuchtend sein sollte).
Oder liegt das vllt. daran, dass ich die Gram Determinante vergessen hab, die nen Faktor 1/2 liefert?

09.01.2012, 11:54

Dschoni

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haha...ja. Richtig. Dumm --> Ich. Danke dir.

09.01.2012, 11:59

René Gruber

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Wir sprechen doch über den rechten Teil

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_S \nabla \times \vec{v} \cdot \vec{n} ~ \dd S \end{eqnarray*}$ ,

mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ als Einheitskreisfläche - oder? Da wird über die Kreisfläche integriert, nicht über den Rand.

Wenn du stattdessen den linken Teil $\begin{eqnarray*} \oint\limits_{\partial S} \vec{v} \cdot ~ \dd r \end{eqnarray*}$ meinst, was soll dann das Gerede über die Rotation? verwirrt

09.01.2012, 12:12

Dschoni

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Hab meinen Fehler schon gefunden. Ich hab beim Integrieren über die Kreisfläche die Gramdeterminante vergessen. Und daher fehlte mir der 1/2 Vorfaktor. Die kleinen dummen Dinge des Lebens.

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