Zerfällungskörper über Q

Neue Frage »

09.01.2012, 11:20	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper über Q Heute beschäftige ich mich mit dem Thema Körperweiterungen. Dazu will ich folgende Aufgabe bearbeiten: Es sei das Polynom $\begin{eqnarray} f := (x^{4} - 3) (x^{4} + 1) \in Q[X] \end{eqnarray*}$ gegeben. Bestimme den zugehörigen Zerfällungskörper K von f über Q und den Grad \| K : Q\| der zugehörigen Körperweiterung. Meine Idee dazu: Ich würde zunächst die NST des Polynoms bestimmen. Dann habe ich gelesen, dass man diese zu Q adjungieren soll. Was heißt denn dieses adjungieren konkret?
09.01.2012, 11:26	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen müssten doch: $\begin{eqnarray} x_1 = + 4\sqrt{3} <br /> <br /> x_2 = - 4\sqrt{3} <br /> <br /> x_3 = + 4\sqrt{1} = +1<br /> <br /> x_4 = - 4\sqrt{1} = -1<br /> <br /> x_5 = + 4\sqrt{1} i<br /> <br /> x_6 = - 4\sqrt{1} * i \end{eqnarray}$ sein, oder? Es soll übrigens "4 Wurzel aus" bedeuten, nicht 4!!! Ich wusste nicht, wie ich das in latex schreiben kann.
09.01.2012, 11:32	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper über Q hallo quad, ja, adjungieren heisst hinzufügen, ich gebe dir mal ein einfaches beispiel, es ist z.b. Q(sqrt2) die menge der rationalesn zahlen erweitert um das element wurzel2, dienn die wurzel aus 2 ist ja keine rationale zahl, und Q(sqrt 2) wären dann alle zahlen der form a+b*sqrt2 mit a und b element aus Q. Ansonsten war alles richtig. was du gesagt hast, man muss die nullstellen von f bestimmen und überlegen welche elemente man zu Q noch adjungieren muss, damit alle nullstellen in dem erweiterten körper liegen. gruss ollie3
09.01.2012, 11:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen sind schon falsch. Zum ersten Faktor fehlen 2 Nullstellen und für den 2ten Faktor ist es komplett falsch. Du kannst doch nicht behaupten, dass 1 eine Nullstelle wäre, wenn man doch in Sekundenbruchteilen nachrechnet, dass dem nicht so ist. Insgesamt gibt es 8 Nullstellen.
09.01.2012, 12:18	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Die NST für (x^4 -3) sind: x_1 = 4. Wurzel aus 3 = 1,13160 x_2 = - 4. Wurzel aus 3 = - 1,13160 x_3 = 4. Wurzel aus 3 * i = 1.13160 * i x_4 = - 4. Wurzel aus 3 * i = - 1,13160 * i und für (x^4+1) sind es x_5 = -0,70710 - 0,70710i x_6 = -0,70710 + 0,70710i x_7 = 0,70710 - 0,70710i x_8 = 0,70710 + 0,70710i So richtig? Und was muss ich dann als nächstes tun?
09.01.2012, 12:35	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Beitrag zurückgezogen. Nullstellen sind richtig.
Anzeige

09.01.2012, 12:41	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo quad. wenn die nullstellen so richtig sind, musst du dir noch überlegen, welche elemente, die man für die lösung braucht, nicht in Q liegen, also um was Q man noch erweitern muss. Es ist übrigens besser, wenn du nicht mit kommazahlen arbeitest sodern die wurzeln direkt ausschreibst, so kommst du schneller an die lösung. gruss ollie3
09.01.2012, 16:15	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
also im prinzip fehlen hier ja $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ und i, weil in Q ja nur Brüche, nat. Zahlen und Ganze Zahlen enthalten sind.
09.01.2012, 16:26	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
i braucht man hier nicht unbedingt, es ist ja keine Nullstelle. Aber jedenfalls braucht man mindestens noch $\begin{eqnarray} \sqrt{2}=x_5+x_6 \end{eqnarray}$ . Sagt dir in diesem Zusammenhang der Begriff Minimalpolynom etwas? (siehe etwa: Wiki unter Körpertheorie) Übrigens: $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray}$
09.01.2012, 16:37	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also hat $\begin{eqnarray} (x^{4} - 3) \end{eqnarray}$ die Körpererweiterung: $\begin{eqnarray} \sqrt [4] {3}, e^{1pi/2} \end{eqnarray*}$
09.01.2012, 16:52	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Polynom hat keine Körpererweiterung, allenfalls einen Zerfällungskörper. (dabei ist aber der Grundring des Poynoms wesentlich. Als Polynom über den komplexen Zahlen wäre der Zerfällumgskörper wieder die komplexen Zahlen.) $\begin{eqnarray} e^{1pi/2} =i \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} L= \mathbb Q (\pm \sqrt[4]{3}, \pm \sqrt[4]{3} i) = \mathbb Q (\sqrt [4]{3}\color{red},i\color{black}) \end{eqnarray}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} X^4-3 \in \mathbb Q [X] \end{eqnarray}$ . Versuche die folgenden Fragen zu beantworten: -Warum ist $\begin{eqnarray} i \in L \end{eqnarray}$ ? -Warum gelten die obigen Gleichheiten für L ? -Wie kann man $\begin{eqnarray} [L:\mathbb Q] \end{eqnarray*}$ berechnen? (siehe mein voriger Post) Edit: Auf Hinweis von tmo das rote i hinzugefügt

Neue Frage »

Antworten »

Zerfällungskörper über Q

Verwandte Themen