Phasengang

13.01.2007, 18:30

TobsenMH

Phasengang

ich habe einen phasengang mit $\begin{eqnarray*} arctan\frac{1-T_1T_2w^2}{T_2w+T_1w} \end{eqnarray*}$ errechnet

in der lösung steht das ergebnis $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2} - arctan (T_1w) - arctan(T_2w) \end{eqnarray*}$

da ich bei meiner rechnug i-wie keinen fehler finden kann meine frage:
ist das das gleiche? und wenn ja, nach welchen gesetzen ist das umgeformt?

13.01.2007, 22:42

Abakus

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RE: Phasengang
Du kannst ja testweise einige Werte einsetzen oder nach einem geeigneten Additionstheorem suchen.

Wenn es dasselbe ist, muss die Ableitung der Differenz verschwinden, das könntest du auch ausrechnen.

Grüße Abakus smile

13.01.2007, 22:51

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Zitat:

Original von TobsenMH
ist das das gleiche?

Wenn dich Differenz $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (oder ein Vielfaches davon) zwischen beiden Formeln nicht stört, ist es dasselbe.

Differenz $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ heißt natürlich genaue Umkehrung der Polarität ... musst du selbst wissen, ob das Ärger macht.

14.01.2007, 11:43

TobsenMH

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danke ihr beiden, aber die einzige umformung, die ich mittles additionstheorem (man kann doch die theoreme vom tan 1:1 für den arctan übernehmen, oder?) hinbekomme ist die nach:

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan\frac{1}{T_2w+T_1w}-arctan\frac{T_1T_2w^2}{T_2w+T_1w} }{1+arctan\frac{1}{T_2w+T_1w}arctan\frac{T_1T_2w^2}{T_2w+T_1w}} \end{eqnarray*}$

ich sehe da leider immer noch net den entscheidenden punkt zu der o.g. lösung... Hilfe

wenn ich jetzt nämlich weitere theoreme anwenden würde, kämen ja noch andere funktionen wie sin, cos oder cot mit hinzu....

ps: das mit der wertetabelle ist zwar eine gute idee zur überprüfung, aber bei späteren aufgaben muss ich ja selbst auf die untere lösung kommen...

14.01.2007, 11:59

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Zitat:

Original von TobsenMH
(man kann doch die theoreme vom tan 1:1 für den arctan übernehmen, oder?)

Eine sehr gewagte Formulierung - bei sorgfältiger Betrachtung kannst du einiges nutzen, ja. Z.B. hier:

Es ist $\begin{eqnarray*} \tan(x+y) = \frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)} \end{eqnarray*}$ . Jetzt substituieren wir mal $\begin{eqnarray*} u=\tan(x),v=\tan(y) \end{eqnarray*}$ . Unter der zusätzlichen Annahme $\begin{eqnarray*} x,y,x+y\in\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} x=\arctan(u),y=\arctan(v) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \arctan(u)+\arctan(v) = x+y = \arctan\frac{u+v}{1-uv} \end{eqnarray*}$

Lässt man jetzt eine Voraussetzung fallen, wie z.B. $\begin{eqnarray*} x+y\in\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , dann stimmt das schon nicht mehr, da kann ein Offset $\begin{eqnarray*} \pm\pi \end{eqnarray*}$ aus der Periode des Tangens dazukommen...

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