Skalarprodukt für endliche Folge, Verständnis?

09.01.2012, 15:12

barracuda317

Skalarprodukt für endliche Folge, Verständnis?

Auf

$\begin{eqnarray*} c_{00} \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} ={(x_1, x_2, ...)|x_k \in \mathbb{R}, x_i \neq 0} \end{eqnarray*}$ nur für endlich viele $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ }

wird durch

$\begin{eqnarray*} ((x_1,x_2,...)|(y_1,y_2,...))= \sum\limits_{i=1}^N x_i y_i, \end{eqnarray*}$

wobei N hinreichend gross sei, so dass ab einem genügend grossen $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x_k y_k = 0 \end{eqnarray*}$ ist, ein Skalarprodukt definiert.

Zu zeigen sind nun die Bedingungen aus der Skalarproduktdefinition.

Problematisch empfinde ich

$\begin{eqnarray*} (x|x)=0 <=> x=0 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, ob der Nullvektor in dieser Menge enthalten ist. In der Mengendefinition wird vorgegeben, dass alle Komponenten reelle Zahlen sind ( $\begin{eqnarray*} x_k \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ). Es gibt dann $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ nur für endlich viele $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$ Was genau ist damit gemeint?

09.01.2012, 15:15

Mazze

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Also, man schreibt oft

a != 0

wenn man

a ungleich 0

meint. Offenbar hat der Autor eurer Übungsblätter wohl dass $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ nicht gekannt. Vor allem in Programmiersprachen wird für einen logischen Vergleich oft != als ungleich genutzt.

09.01.2012, 15:21

barracuda317

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Der Autor des Übungsblattes hat das schon korrekt geschrieben, eher ich, der Autor des Thread hatte keine Ahnung wie hier das $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ geht. unglücklich

Also da liegt mein Verständnisproblem nicht.

Ich habe es nun oben editiert

09.01.2012, 15:26

Mazze

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Ungleich kann man mit \neq schreiben (not equal Augenzwinkern

)

So , was heisst also

$\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ für endlich viele $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, es gibt nur endlich viele Folgenglieder der Folge x , die ungleich 0 sind. Der Rest ist gleich 0. Etwa als Beispiel :

Betrachte die Folge :

1 0 2 0 3 4 0 0 0 0 0 0 0 ....

Dann gibt es nur endlich viele Stellen der Folge die ungleich 0 sind, nämlich Stelle 1,3,5,6. Es gibt also nur endlich viele i (i = 1, i = 3, i = 5, i = 6) so dass x_i != 0 ist Augenzwinkern

09.01.2012, 15:29

barracuda317

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Muss es denn mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ geben?

09.01.2012, 15:32

Mazze

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Zitat:

Muss es denn mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ geben?

Davon steht da nichts. 0 ist auch eine endliche Anzahl.

09.01.2012, 15:57

barracuda317

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Okay, jetzt wird es klarer. Ich habe irgendwie für $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ eine Existenz vorausgesetzt.

Dann kann ich nun auch für meinen Beweis direkt vorgehen.

$\begin{eqnarray*} (x|x)=0 => x=0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die definierte Abbildung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (x|x)=\sum\limits_{i=1}^N x_i^2=0 \end{eqnarray*}$

Da das Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich 0 ist, ist die Summe dieser Quadrate nur dann 0, wenn alle Summanden 0 sind. Es folgt daraus also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 => (x|x) =0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in die definierte Abbildung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (0|0)=\sum\limits_{i=1}^N 0^2=0 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ folgt also $\begin{eqnarray*} (x|x) =0 \end{eqnarray*}$

09.01.2012, 15:58

Mazze

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Sehr schön Freude

, eventuel solltest Du bei der Summe oben noch was zu dem N sagen, also wo Du es her hast.

09.01.2012, 16:08

barracuda317

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Bei dem N muss ich noch auf den letzten Satz der Aufgabenstellung verweisen.

N ist genügend groß, so dass sich der Wert der Summe nicht mehr ändert, also $\begin{eqnarray*} x_i^2=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i>N \end{eqnarray*}$ ist.

Vielen Dank für deine Hilfe.

12.01.2012, 22:03

Gumba

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Muss es denn mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ geben?

Davon steht da nichts. 0 ist auch eine endliche Anzahl.

Aber i ist Element von N* -> kann also nicht 0 sein ?

12.01.2012, 23:33

Gumba

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ok hat sich erledigt Augenzwinkern

12.01.2012, 23:34

barracuda317

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i bezeichnet aber hierbei nur den Index der Zahl, und der Index beginnt für uns bei 1, daher wurde die 0 ausgeschlossen. mit dem Wert von $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ hat das nix zu tun.

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