Parameterform --> Koordinatenform

13.01.2007, 19:57	Rabia	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterform --> Koordinatenform Hallo! kann mir jemand bitte anhand eines Beispiels zeigen, wie man von einer Parameterform einer Ebene zu der Koordinatenform kommt? Also es gibt ja verschiedene Möglichkeiten: 1.) Kreuzprodukt der Spannvektoren entspricht dem Normalenvektor; doch wie bekomme ich dann die Zahl, die hin´ter dem Gleichheitszeichen steht? 2.) LGS (bitte kein Beispiel mit einer Matrixform: hatte ich nie!) der Parameterform. --> genau hier komme ich ich immer durcheinander!
13.01.2007, 20:35	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixform ? Ich nehm an du meinst die Determianten.. das ist wohl der schnellste Weg. $\begin{eqnarray} E: \vec{X} = \vec{A} +u\cdot\vec{v_1}+w\cdot \vec{v_2} \end{eqnarray}$ Dann kann man das in die Koordinantenform bringen durch: $\begin{eqnarray} \vec{XA}+u\cdot\vec{v_1} +w\cdot \vec{v_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{det}\left(\vec{XA}\, , \; \vec{v_1}\, , \; \vec{v_2}\right)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray}$ Da der Punkt X ja auf der Ebene liegen soll und somit XA und die Ortsvektoren Linear Abhänig sein müssen.
13.01.2007, 20:44	Rabia	Auf diesen Beitrag antworten »
du schreibst das alles so nem Hochschulniveau! da blick ich leider etwas schwer durch. also, mein problem ist jetzt konkret, das LGS , das man erhält, wenn man die Parameterform auflöst und durch Elimination die Koordinatenform erhält. Da muss man doch zuerst die eine, dann die andere Variable eliminieren und dann, was resultiert, ist dann die Koordinatenform. Dafür hätte ich unheimlich gerne ein Beispiel!. Danke!
13.01.2007, 21:17	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Machen wir mal ien anschauliches Beispiel: $\begin{eqnarray} E: \vec{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}8\\1\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nochmal: Weisst du was die Determinante ist? Zur Berechnung holt man nun $\begin{eqnarray} \vec{X}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf die andere Seite rüber und erhält dann die Gleichung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-x_1 \\ 2-x_2 \\ 3-x_3 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix}8\\1\\3\end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ Nun berechnen wir die Determinante und setzten die gleich 0 $\begin{eqnarray} \operatorname{det}\left(\begin{pmatrix} 1-x_1 \\ 2-x_2 \\ 3-x_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}8\\1\\3\end{pmatrix}\right)=\begin{vmatrix} 1-x_1 & 5 & 8 \\2-x_2 & 2 & 1 \\ 3-x_3 & 5 & 3 \end{vmatrix} \stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray}$ wie du siehst, bisher noch kein Stück Denk- oder Rechenarbeit, sondern nur Formal Umgeschrieben. Jetzt ein minimales Stück rechnen: $\begin{eqnarray} \operatorname{det}\left(...\right)=\left(1-x_1\right)\cdot 2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 \cdot \left(3-x_3\right) + 8\cdot \left(2-x_2\right) \cdot 5 - \left(3-x_3\right) \cdot 2 \cdot 8 - 5\cdot 1 \cdot \left(1-x_1\right) - 3 \cdot \left(2-x_2\right) \cdot 5=0 \end{eqnarray}$ Vereinfachen denk ich kannst du auch selber, es kommt dann nachdem man noch mit -1 durchmultipliziert hat (ändert ja nix) raus: $\begin{eqnarray} x_1+25x_2-11x_3=18 \end{eqnarray}$ Und fertig. Ist es das was du meinstest?
13.01.2007, 21:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dabei wäre allerdings zu erklären, WARUM diese Determimante den Wert 0 hat. Tut mir leid, @Lazarus, schülergerecht ist diese Aufarbeitung immer noch nicht, wenngleich sehr elegant und angenehm zu rechnen. EDIT: Sorry, ich hatte die vorhergehende Erklärung von Lazarus übersehen! Rabia wollte wissen, wie man die Ebenengleichung parameterfrei macht, also die Parameter eliminiert. Dazu schreibt sie die Gleichung zeilenweise an: $\begin{eqnarray} x_1 = 1 + 5 \lambda + 8 \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 2 + 2 \lambda + \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = 1 + 5 \lambda + 3 \mu \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------- Nun werden mit dem normalen Gauß'schen Algorithmus (Vilefache einer Gleichung zu einer anderen addieren) die beiden Parameter eliminiert, sodaß nur noch eine Gleichung in $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ übrigbleibt. Deine Frage bezüglich Normalvektor: Berechne aus den beiden Spannvektoren den Normalvektor. Dann multipliziere die Parameterform skalar mit diesem Normalvektor. Die beiden Produkte der Spannvektoren mit dem Normalvektor werden dabei zu Null! So wurden mit einem Schlag die beiden Parameter ins Nirvana befördert und es bleibt nur noch die Koordinatengleichung stehen. Kannst du dies an dem o.a. Beispiel nachvollziehen? mY+
14.01.2007, 18:07	Rabia	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für die erste Aufgabe habe ich folgende Koordinatengleichung raus: (mit dem LGS) x1 +5x2 -3x3=-8
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14.01.2007, 18:17	Rabia	Auf diesen Beitrag antworten »
@Lazarus: das ist tatsächlich etwas zu kompliziert. Ich mein', wenn ich schon bei einer Matrixumformung nicht so viel verstehe... trotzdem muchas gracias. Das wichtigste is ja, dass ich es verstehe...... det LGS oder Matrix... oder sonst was, Hauptsache die richtige Lösung Das mit der Nirvana-Beförderunh kann ich auch nachvollziehen! Danke!!! Es gibt ja so unheimlich viele Lösungsmöglichkeiten in der analytischen Geometrie.
14.01.2007, 18:59	TheGreatMM	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich rechne im Grunde alles mit der Koord.gl. am schnellsten+sichersten geht (ich hab alles ausprobiert ) 1) Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnen -> Normalvektor 2) $\begin{eqnarray} (\vec{x} - p ) \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$ 3) das einfach ausmulitplizieren

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