Senkrechte Gerade zu Ebene

09.01.2012, 20:22

Geminio

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Senkrechte Gerade zu Ebene

Gegeben ist ein Punkt S_t (17+3t / 7+t / 8+4t), dazu die Ebene 4x-3z=19.
Nun soll ein Wert t_0 ermittelt werden, für den die Gerade MS_t_0 senkrecht zur Ebene ist. M habe ich schon berechnet mit (5,5/4,5/1) und er liegt in der Ebene.

Meine Idee ist, dass man den Richtungsvektor der Geraden so entwickelt, dass er linear abhängig und somit parallel zum Normalenvektor der Ebene ist, sodass Gerade und Ebene senkrecht stehen. Bis dahin kam es mir ganz einfach vor, nur jetzt komme ich dahingehend nicht weiter, dass ich den linear abhängigen Richtungsvektor nicht bestimmen kann, alles was ich ausprobiert habe, wird nix. verwirrt

verwirrt

Kann mir jemand von euch weiterhelfen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2012, 20:52

Dopap

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eine etwas breitere Darstellung wäre hilfreich gewesen.

Die Idee mit der lin. Abhängigkeit ist vollkommen richtig.

1.) Wie lautet "der" Normalenvektor der Ebene?
2.) "Der" sollte linear abhängig zu dem Richtungsvektor der Geraden sein...

jetzt also Rechnung:

09.01.2012, 21:15

Geminio

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Der Normalenvektor der Ebene ist (4/0/-3).
Mein Problem ist es, ebendiesen Vektor linear abhängig zu MS_t_0 zu machen.
M als Stützvektor ist ja schon mal klar.
Also sollte die Gerade irgendwie so werden:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 5,5 \\ 4,5 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -11,5+3t \\ -2,5+t \\ -7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lin. Abh. würde ich eigentlich so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} =s\begin{pmatrix} 17+3t \\ 7+t \\ 8+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur wenn ich dabei t oder s ausrechnen will, entstehen Widersprüche, aber so ermittelt man doch eigentlich lin. Abh.?? unglücklich

unglücklich

09.01.2012, 21:41

Dopap

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da liegt ein Missverständnis vor!

du sollst nicht den Ortsvektor der Geraden zum Normalenvektoer der Ebene linear abhängig machen, sondern den Richtungsvektor der Geraden...

Du musst den parametriesierten Punkt, in einen fixen Punkt ( Stützvektoer ) + Richtungsvektor * Parameter zerlegen.

wie lautet die Gerade in Vektorschreibweise, die der parametrisierte Punkt $\begin{eqnarray*} S_t \end{eqnarray*}$
darstellt?

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} \\ \\ \end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} \\ \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.01.2012, 21:49

Geminio

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$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 17 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt richtig verstehe, muss ich dann diesen Richtungsvektor lin. abh. machen? verwirrt

verwirrt

Also vielleicht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} =t\begin{pmatrix} 3t \\ t \\ 4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.01.2012, 22:03

Dopap

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Zitat:

Original von Geminio

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} =t\begin{pmatrix} 3t \\ t \\ 4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

doppelte Parameter sind überflüssig.
Entweder das t vor dem Vektor entfernen, oder das t im Vektor entfernen.

Ansonsten genau richtig!

Und jetzt: gibt es ein t das die Bedingung erfüllt?

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09.01.2012, 22:06

Geminio

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Nein, leider kein t...

09.01.2012, 22:18

Dopap

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so seh' ich das auch, das heißt, die Gerade steht nicht senkrecht auf der Ebene.

noch Fragen ?

09.01.2012, 22:23

Geminio

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Naja, eigentlich sollte die Gerade ja senkrecht sein, aber vielleicht hab ich mich vorher schon mal in der Aufgabe verrechnet. Ich werde das später noch mal durchrechnen. Und jetzt weiß ich ja, wie man das mit den Richtungsvektoren und so weiter macht Big Laugh

Big Laugh

, ich danke dir für deine gute Hilfe!! Hat mir sehr geholfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

Viele Grüße smile

smile

09.01.2012, 22:44

Dopap

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du musst dich im Kopf frei davon machen, dass Aufgaben eine "Lösung" haben müssen.
In Mathe zählt auch die leere Menge als Lösungsmenge Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2012, 23:49

opi

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Zitat:

Original von Geminio
Der Normalenvektor der Ebene ist (4/0/-3).
Mein Problem ist es, ebendiesen Vektor linear abhängig zu MS_t_0 zu machen.
M als Stützvektor ist ja schon mal klar.
Also sollte die Gerade irgendwie so werden:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 5,5 \\ 4,5 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -11,5+3t \\ -2,5+t \\ -7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lin. Abh. würde ich eigentlich so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} =s\begin{pmatrix} 17+3t \\ 7+t \\ 8+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur wenn ich dabei t oder s ausrechnen will, entstehen Widersprüche, aber so ermittelt man doch eigentlich lin. Abh.?? unglücklich

unglücklich

Das war bis auf zwei Fehler schon ganz gut.
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 5,5 \\ 4,5 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} {\color{red}+}11,5+3t \\ {\color{red}+}2,5+t \\ {\color{red}+}7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die negativen Vorzeichen sind zwar nicht völlig verkehrt, wir hätten es dann aber mit einem neuen t zu tun. Dies wäre unglücklich.

Bei der Berechnung der lin. Abhängigkeit darf aber nur der Richtungsvektor der Geraden berücksichtigt werden, der Ortsvektor wird nicht mit hinzugezählt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} =s\begin{pmatrix} 11{,}5+3t \\ 2{,}5+t \\ 7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt läßt sich t bestimmen, s ergibt sich von selbst.
Es sei denn, ich hätte mich verrechnet. verwirrt

verwirrt

10.01.2012, 00:41

Dopap

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ähm? opi : liest du den thread vor dem posting?
Und dann widersprichst du dir selbst.
war das nun Langsamschreiber oder Langsamdenker Big Laugh

Big Laugh

ich denke, die eigene Vorsicht hinsichtlich deiner Ausführungen war berechtigt

10.01.2012, 01:21

opi

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MS_t}=\begin{pmatrix} 11{,}5+3t \\ 2{,}5+t \\ 7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einverstanden?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix} 11{,}5+3t \\ 2{,}5+t \\ 7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So besser?
Jetzt läßt sich t bestimmen, lambda ergibt sich von selbst.

10.01.2012, 18:04

Geminio

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Also das verwirrt mich jetzt ein bisschen...

verwirrt

Für t habe ich -2,5 und Lambda ist 1.

Wieso wird es ein anderes t, wenn ich das negative Vorzeichen drin habe? Weil eigentlich hat man $\begin{eqnarray*} \vec{MS_t} \end{eqnarray*}$ ja durch $\begin{eqnarray*} {S_t - M} \end{eqnarray*}$ berechnet... und so bekommt man den Richtungsvektor der Geraden...?

Also wie muss das jetzt sein?
Laut Aufgabenstellung muss es übrigens einen Wert für t geben, weil man mit der Gerade noch weiterrechnen soll. smile

smile

Augenzwinkern

verwirrt

10.01.2012, 18:57

opi

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Zitat:

Für t habe ich -2,5 und Lambda ist 1.

Freude

So ist es richtig.

Wenn Du $\begin{eqnarray*} S_t - M \end{eqnarray*}$ rechnest, ergeben sich im Richtungsvektor keine negativen Vorzeichen.

Bei Deiner zuerst angegebenen Geradengleichung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 5,5 \\ 4,5 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -11,5+3t \\ -2,5+t \\ -7+4t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt sich für t ein Wert von +2,5. Die aufgestellte Gerade durch die Punkte S und M wäre damit zwar nicht falsch, die verschiedenen t wären aber äußerst unglücklich.
Im Klartext: So etwas macht man nicht.

Zumal in der Aufgabenstellung nach einem Wert für t gefragt wird, und der ist hier nur t=-2,5.

10.01.2012, 19:12

Geminio

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Dann hab ich wohl M-S_t gerechnet geschockt

geschockt

Aber richtig ist S_t minus M??? Also den anderen Punkten minus den Punkt, den man als Stützvektor verwendet. Ich kann mir das immer nicht merken Big Laugh

Big Laugh

Also ist -2,5 jetzt die richtige Lösung... und was ist mit Dopaps Variante?

Viele Grüße smile

smile

10.01.2012, 22:25

opi

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Du hattest einen Mischmasch aus beidem gerechnet: Beim Parameter S-M, beim parameterfreien Wert M-S.
Prinzipiell ist es beim Aufstellen eines Richtungsvektors egal, welche Ortsvektoren der Punkte man voneinander abzieht. Üblich ist aber das von Dir beschriebene Verfahren:

Zitat:

Also den anderen Punkten minus den Punkt, den man als Stützvektor verwendet.

Lehrer

Wobei nicht Punkte voneinander abgezogen werden, sondern deren Ortsvektoren. Zumindest, wenn man das Verfahren beschreibt.

Zu Dopaps Variante kann sich nur Dopap äußern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2012, 15:38

Geminio

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Ok, also die Ortsvektoren Big Laugh

Big Laugh

Jedenfalls vielen Dank für die Hilfe! Wink

Wink

smile

11.01.2012, 15:53

opi

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Gern geschehen! Wink

Wink

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