Beweis: Funktion ungleich Ableitung (ausgenommen e-Fkt.)

09.01.2012, 21:56

instinct

Beweis: Funktion ungleich Ableitung (ausgenommen e-Fkt.)

Meine Frage:
Aufgabe: Zeigen sie, dass es keine Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \left(a,b\right) \Rightarrow \mathbb R , f=g, \end{eqnarray*}$
gibt, wobei g die Abeleitung von f darstellt.

(Ausgennomen der Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \left(a,b\right)\Rightarrow \mathbb R , x\Rightarrow c*e^{x} \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
Leider habe ich gar keine richtige Idee wie ich anfangen soll...
Zuerst kam mir der die Funktion f(x)=0 mit f´(x)=0, doch diese ist ja durch f(x)=0=0*e^x auch abgedekt. Ich denke schon, dass ich verstehe um was es geht, doch villeicht könnte mir jemand einen kleinen Denkanstopß geben wie ich denn auf den Beweis kommen könnte.

09.01.2012, 22:15

Mulder

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RE: Beweis: Funktion ungleich Ableitung (ausgenommen e-Fkt.)
Man könnte so ansetzen: Wir nehmen an, es gelte $\begin{eqnarray*} f=f' \end{eqnarray*}$ (bzw. f=g, wie es in der Aufgabenstellung genannt wird, das ist ja egal). Wenn wir nun zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} f(x) = ce^x \end{eqnarray*}$ sein muss, sind wir fertig.

Nun definieren wir uns die Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Bestimme mal $\begin{eqnarray*} h'(x) \end{eqnarray*}$ . Was für Schlüsse kannst du dann über $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ ziehen?

09.01.2012, 22:38

1nstinct

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Ich hoffe ich verstehe richtig, dass $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)*e^{-x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)= c*e^x \end{eqnarray*}$ definiert ist. Dann würde meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} g(x)=c \end{eqnarray*}$ gelten.

Daraus würde $\begin{eqnarray*} g'(x)=0 \end{eqnarray*}$ folgen.

09.01.2012, 22:40

Mulder

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Zitat:

Original von 1nstinct
Ich hoffe ich verstehe richtig, dass $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)*e^{-x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)= c*e^x \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Nein, dass das f(x) von der Form f(x)=ce^(x) ist, wissen wir an dieser Stelle doch noch gar nicht. Das wollen wir doch gerade zeigen! Wir wissen nur eins: f = f'. Das ist unsere Annahme, aus der wir etwas folgern wollten.

Leite h(x) nun mal mit der Produktregel ab.

09.01.2012, 22:47

1nstinct

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$\begin{eqnarray*} g'(x)=f'(x)*e^{-x} - f(x)*e^{-x}=e^{-x} *(f'(x)-f(x)) \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich $\begin{eqnarray*} g(x)=g'(x) \end{eqnarray*}$ setzten.

Dann würde $\begin{eqnarray*} f(x)=f'(x)-f(x) \end{eqnarray*}$ gelten.

09.01.2012, 22:52

Mulder

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Okay, ich glaube, wir kommen hier jetzt ein wenig mit den Buchstaben durcheinander. In der Aufgabenstellung ist g die Ableitung von f. Ich hatte blöderweise zuerst diese neue Hilfsfunktion auch g genannt, dadurch entstanden vielleicht Missverständnisse, falls du das schon so gelesen hattest. Inzwischen hatte ich das editiert:

$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ `

Ich schreibe jetzt für die Ableitung von f nicht g, sondern f'.

Die Ableitung ist (das geht ja jetzt so, wie du es schon gemacht hattest):

$\begin{eqnarray*} h'(x) = f'(x) \cdot e^{-x} - f(x) \cdot e^{-x} = e^{-x} \cdot (f(x)-f'(x)) \end{eqnarray*}$

So, jetzt nochmal: Wir wissen, dass f=f' ist. Wenn man das so einsetzt, was ergibt sich dann für h'(x)? Was ist dann h(x)?

09.01.2012, 23:00

1nstinct

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Mein Fehler, entschuldigung. Ich hatte am anfang den ' für die Ableitung nicht gefunden unglücklich

.

Naja also:
$\begin{eqnarray*} h'(x)=e^{-x} *(f'(x)-f(x)) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} f=f' \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} h'(x)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ muss eine reelle Zahl sein, $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Deshalb muss $\begin{eqnarray*} f(x)=c*e^{x} \end{eqnarray*}$ gelten.

Könnte das stimmen?

09.01.2012, 23:07

Mulder

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Genau, wir haben also durch das Ableiten von h(x) herausgefunden:

$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) \cdot e^{-x} = c \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} f(x) = c \cdot e^x \end{eqnarray*}$

smile

09.01.2012, 23:11

1nstinct

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und damit können wir alle anderen Funktionen ausschließen?

09.01.2012, 23:22

1nstinct

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Ich danke dir vielmals für deine Antworten, ohne die wäre ich echt aufgeschmissen gewesen. smile

09.01.2012, 23:25

Mulder

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Zitat:

Original von 1nstinct
und damit können wir alle anderen Funktionen ausschließen?

Sicher. Wir haben gezeigt, WENN f=f', dann muss f=ce^x sein. Sonst funktioniert es nicht.

Zitat:

Original von 1nstinct
Ich danke dir vielmals für deine Antworten, ohne die wäre ich echt aufgeschmissen gewesen.

Gerne.

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