rational mal irrationale Zahl = irrational, Beweisidee

13.01.2007, 20:12

JayDi

rational mal irrationale Zahl = irrational, Beweisidee

Hallo.

Mir erscheint es logisch, dass eine rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen wieder eine irrationale Zahl ergibt. Leider kann ich das nicht beweisen.
Ich kenne den Beweis, dass Die Wurzel 2 nicht rational ist, aber helfen tut mir das nicht.
Kann jemand helfen?

13.01.2007, 20:15

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ein Widerspruchsbeweis bietet sich an. Angenommen, die Aussage wäre falsch, dann kannst du zeigen, dass deine irrationale Zahl rational ist. Widerspruch Augenzwinkern

Gruß, therisen

13.01.2007, 20:21

JayDi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

aber das ist bei mir auch schon schwierig,

rational ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \; mit \; m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Wobei, m oder n muss noch ungerade sein, oder wie war das?
Aber irrational, wie soll ich denn so eine Zahl formal darstellen? Also das sind ja die Zahlen aus IR ohne Q.

13.01.2007, 20:27

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a=\frac{m}{n}\mbox{ mit } m\in \mathbb Z \mbox{ und } n\in \mathbb N \mbox{ sowie } \operatorname{ggT}(m,n)=1 \end{eqnarray*}$

Das ggT(..) ist nehm ich an das was du mit ungerade meinst.. ist nicht so wichtig, weil falls der Bruch noch kürzbar wäre (z.b. $\begin{eqnarray*} m=v\cdot b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n= c\cdot v \end{eqnarray*}$ kürzt man und erhält $\begin{eqnarray*} a=\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

13.01.2007, 21:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JayDi
Mir erscheint es logisch, dass eine rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen wieder eine irrationale Zahl ergibt.

Mir nicht - Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} 0\cdot \sqrt{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Man muss schon genau die Voraussetzungen formulieren - hier also, dass der rationale Faktor von Null verschieden sein soll. Augenzwinkern

30.10.2013, 19:53

snfds

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll der Beweis durch Widerspruch in dem Fall funktionieren?

30.10.2013, 20:01

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Seien $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{Q}\backslash\{0\}, b\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} a\cdot b\not\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$

Angenommen, es gibt ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\cdot b=c. \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$

Also ist auch $\begin{eqnarray*} c\cdot \frac{1}{a}\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$
Das bedeutet $\begin{eqnarray*} b=c\cdot \frac{1}{a}\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$ Das ist aber ein Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ war.

30.10.2013, 20:07

snfds

Auf diesen Beitrag antworten »

sei a rrational, b irrational dann isei das produckt rational

a*b=c
laut vorraussetzung
gilt
a=m/n
c=q/p

m/n*b= q/p
b=(q*n)/(m*p)
dann ist b rrational da zähler und nenner ganze zahlen sind

passt das so?

30.10.2013, 20:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt in a*b=c vorausgesetzt, dass a und c rationale sind, und dann geschlussfolgert, dass dann auch b rational sein muss. Daraus kann man dann auch folgern, dass falls b irrational ist, dann auch c irrational ist.

Dein Beweis sieht ganz gut aus. Allerdings sollte man noch einpaar Sachen ergänzen: $\begin{eqnarray*} m,q\in\mathbb{Z}, n, p\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$

03.07.2015, 09:28

tellmemorebullshit

Auf diesen Beitrag antworten »

irrational
Falsch da:Rad(2)*rad(2)=2
Oder rad 2 * -rad 2 =-2
Rad 2 *rad 8= 4

03.07.2015, 09:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: irrational
a) weiß ich nicht, warum du einen Thread aus 2013 ausgräbst
b) scheint mir, daß der Nickname "....bullshit" sich wohl eher auf den eigenen Beitrag bezieht, denn hier geht es um die Frage, ob "rational mal irrationale Zahl" immer eine irrationale Zahl ergibt.
unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

rational mal irrationale Zahl = irrational, Beweisidee

Verwandte Themen