Riemann-Integral

09.01.2012, 23:44	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integral Guten Abend zusammen, Es sei $\begin{eqnarray} f:\left[-1,2\right], x\Rightarrow x \end{eqnarray}$ . Nun soll ich unter Verwendung der Definition des Riemann-Integrals zeigen, dass f integrierbar ist und später um das Integral: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^2 \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ zu berechnen. Ich denke, ich muss zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ größer Null Treppenfunktionen finden, $\begin{eqnarray} \alpha ,\beta \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \alpha \leq f\leq \beta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{-1}^2 \! (\alpha (x) - \beta (x)) \, dx \end{eqnarray}$ kleiner $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Mir würde einfallen, da $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ ein bekanntes Schaubild ist, die Treppenfunktionen bei -1 und 2 festzulegen. Wie das allerdings mathematisch aussehen sollte.....
10.01.2012, 01:13	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integral Ok ich habe noch etwas rumprobiert, aber jetzt weiß ich gar nicht mehr weiter Vielleicht ist ja noch jemand wach, der mir helfen könnte, die entsprechenden Treppenfunktionen zu entwickeln.
10.01.2012, 16:10	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integral man kann das Intervall $\begin{eqnarray} [-1,2] \end{eqnarray}$ etwa in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teilintervalle gleicher Länge $\begin{eqnarray} 3/n \end{eqnarray}$ unterteilen ( $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ). Das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ te Teilintervall ist dann $\begin{eqnarray} I_k=\left[-1+(k-1)\cdot\frac{3}{n}, -1+k\cdot\frac{3}{n}\right] \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} k=1,\dots, n \end{eqnarray}$ . Für die untere Treppenfunktion wählen wir das Minimum von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} I_k \end{eqnarray}$ (also die linke Intervallgrenze) als Funktionswert im Interall $\begin{eqnarray} I_k \end{eqnarray}$ . Als Formel $\begin{eqnarray} \alpha(x)=\sum_{k=1}^n\left(\frac{3(k-1)}{n}-1\right) \chi_{I_k}(x) \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} \chi_A(x) \end{eqnarray}$ die charakteristische Funktion einer Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist (=1 wenn $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ , =0 sonst). Analog kannst du nun das $\begin{eqnarray} \beta(x) \end{eqnarray}$ konstruieren und dann die Integrabilitätsbedingung nachweisen.

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