Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen

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10.01.2012, 11:24	physiker-123	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Meine Frage: Zeige, daß die (verschärfte) Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt: Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \wedge a_{1}, b_{1}, ..., a_{n}, b_{n} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \| a_{k} b_{k} \| \leq \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| a_{k} \| ^{2}} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| b_{k} \| ^{2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe keine ahnung wie ich dass hier mache Viel Danke für alle Beiträge
10.01.2012, 11:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Kann man eigentlich in jedem Analysis-Buch nachlesen. Nun denn. O.B.d.A kann man annehmen, daß es Indizes i und j gibt mit $\begin{eqnarray} a_i \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_j \neq 0 \end{eqnarray}$ . Ansonsten ist die Aussage sofort klar. Wir setzen nun $\begin{eqnarray} x_k := \frac{a_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n \|a_k\|^2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_k := \frac{b_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n \|b_k\|^2}} \end{eqnarray}$ . Wie man leicht sieht, ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\|x_k\|^2 = \sum_{k=1}^n~\|y_k\|^2 = 1 \end{eqnarray}$ Nutze nun die Ungleichung 2\|ab\| <= \|a\|² + \|b\|² . Dann bist du fast schon am Ziel.
10.01.2012, 13:06	physiker-123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Super Vielen Dank
10.01.2012, 13:19	jenny111	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Hey Klarsoweit danke für deine erklärung aber ich sehe nicht wie ich bis zu ende des beweises komme. kannst du mich helfen, dass wär super Danke!!!!
10.01.2012, 14:07	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Unter Ausnutzung von 2\|ab\| <= \|a\|² + \|b\|² gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n 2 \|x_k \cdot y_k\| \leq \sum_{k=1}^n (\|x_k\|^2 + \|y_k\|^2) = 2 \end{eqnarray}$ Jetzt braucht man das nur noch mit $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n \|a_k\|^2} \cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n \|b_k\|^2} \end{eqnarray}$ zu multiplizieren.
10.01.2012, 14:16	jenny111	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Tausend mal Danke!!!!!!! xx
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11.01.2012, 11:37	physiker-123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Wie kann ich hieraus folgeren dass für $\begin{eqnarray} \vec{x} = (x_{1}, ..., x_{n}) \in \mathbb C^{n} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \| \| \vec{x} \| \|_{2} := \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| x_{i} \|^{2}} \end{eqnarray}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb C^{n} \end{eqnarray}$ definiert wird?
11.01.2012, 11:50	Youjirou	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Ich seh schon, da kämpft jemand genauso mit dem übungsblatt 9 wie ich xDDD
11.01.2012, 12:38	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche doch einfach, zu zeigen, dass es eine Norm definiert. Das sind drei nachzuweisende Eigenschaften. Bei einer wirst du mit elementaren Mitteln auf Probleme stoßen und dabei hilft dir dann die Ungleichung. air
11.01.2012, 15:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Noch ein Tipp dazu: fange mit $\begin{eqnarray} \| \| \vec{x} + \vec{y} \| \|_{2}^2 \end{eqnarray}$ an.
11.01.2012, 16:20	physiker-123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Zeigen Danke für den Super tipp!!!

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