Volumen des Tetraeders ( Vektorrechnung)

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Age89 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen des Tetraeders ( Vektorrechnung)
Hallo zusammen,
momentan komme ich bei einer Aufgabe bei meinen Klausuraufgaben auf keine Lösung.
Die Aufgabe:
Von einem Dreiecj sind die Eckpunkte A(1,2,4); B(4,4,0) und C(1,8,1)gegeben. Für das Volumen V des Vieflachs, welches von den Eckpunkten sowie dem Ursprung gebildet wird.

Ich glaube das mein Fehler in der Berechnung der Höhe liegt. Vielleicht kann mir ja einer Helfen
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Volumen eines Tetraeders, das von den Vektoren a,b,c aufgespannt wird, ist ein Sechstel von deren Determinante, also

V=det(a,b,c)/6
Age89 Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir das mit der Determinante mal vorrechnen? Ich hätte jetzt die Höhe über den Abstand der Gerade AB zu Punkt C berechnet
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vorschlag von Ehos mit der Determinante ist die eleganteste Lösung, wenn man weiß, was eine Determinante ist. Wenn du das aber im Unterricht nicht hattest, bleibt dir nur der direkte geometrische Weg:



ist die Grundfläche eines Seitendreiecks, die zugehörige Höhe der Pyramide (also nicht die Höhe der Grundfläche). Und für die Grundfläche selber gilt



ist die Länge einer Seite der Grundfläche und die zugehörige Höhe (das ist jetzt also eine Höhe der Grundfläche).

Wenn die Aufgabe aus einem größeren Kontext ist, dann mußt du diesen Kontext mitteilen. Oft sind in vorhergehenden Aufgabenteilen schon Teillösungen enthalten, die man dann bei der vorliegenden Aufgabe nur noch passend zusammenfügen und ergänzen muß.
Age89 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formeln wusste ich noch zum berechnen des Volumens. Doch der rechnerische Weg der Höhe der ist mir unklar. Ich habe versucht die Höhe über Abstand-Punkt-Geraden herauszubekommen doch nichts klappt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal mußt du dich auf ein Dreieck als Grundfläche festlegen. Was hast du genommen: ? Wie weit bist du gekommen?
 
 
Age89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe mal meine bisherigen berechnungen.
Da die Dreiecks-Grundfläche durch A,B,C gebildet wird, spannt der Ursprung den Rest meines Tetraeders.
Gegeben: A (1,2,4), B (4,4,0), C (1,8,1) und D (0,0,0)

1. als erstes berechne ich eine Seite des Dreiecks mit der Strecke ab =


2: Strecke bc =


3. Strecke ac =


4. nun berechne ich die Höhe mit


5. Für das Volumen habe ich zwei verschiedene Formeln gefunden, wobei ich mit der "Schulform" ein ordentliches ergebnis bekommen habe. und mit der anderen nicht
Schulform:
Volumenformel aus der Vorlesung:

Für die Höhe habe ich h=27

Ich habe 4 Lösungsmöglichkeiten:
V=108, V=36 , V=
V= 18
Mit der Schulvariante komme ich auf 18 VE Wie komme ich ohne die Schulmethode daran?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was du Schulformel nennst, ist nicht anwendbar. Denn diese Formel setzt voraus, daß das Tetraeder regulär ist, daß also alle Kanten dieselbe Länge besitzen. Das ist aber hier nicht der Fall.
Was du zu Anfang ausgerechnet hast, sind keine Strecken, sondern Vektoren. Und bei 4. ist auch der Begriff "Höhe" nicht angemessen. Der dort berechnete Vektor (die zweite Koordinate hat übrigens das falsche Vorzeichen) ist nichts anderes als ein Normalenvektor der Dreiecksebene . Er verläuft zwar parallel zur Höhe, aber das ist auch alles.
Die Formel aus der Vorlesung ist falsch. Richtig ist:



Und was in den Betragsstrichen steht, nennt man das Spatprodukt der Vektoren . Es ist nichts anderes, als was Ehos die Determinante genannt hat. Zur Anwendung dieser Formel muß man aber wissen, was die drei Vektoren drin bedeuten. Es müssen nämlich drei linear unabhängige Vektoren sein, die das Tetraeder aufspannen, zum Beispiel



Statt des Punktes kannst du auch einen anderen Punkt nehmen, von dem die drei Vektoren zu den anderen drei Punkten ausgehen.
Age89 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank,
Ich werde die Aufgabe morgen nochmals nachrechnen und morgen mein Ergebnis posten
Cyaxeres Auf diesen Beitrag antworten »
hier eine Lösung
Erst Vektoren rechnen: Das hast du ja auch gemacht.

Mit diesem Formul 1/6 *|(a kreuez b).c| kannst du, sogar musst du rechnen, weil linear unabhängige Vektoren da sind (Also Grunddreicken haben unterschiedliche Längen).

Das Ergebnis lautet dann: 16,64 Volumen Einheiten.

Hier ein Bild dafür:

schöne Grüße!
Cyaxeres der Kurde
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