Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und fast sicher

10.01.2012, 17:08

ele5559

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und fast sicher

Hallo,

Ich brauche Hilfe bei folgendem Beispiel:
Zu zeigen ist: Die Zufallsfolge $\begin{eqnarray*} X_{1},X_{2},.. \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X_{n} = 1) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_{n} = 0) = 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

konvergiert "in Wahrscheinlichkeit", aber nicht "fast sicher".

Als Definition, wann eine Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert, habe ich die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(|X_{n}-X|>\epsilon)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(|X_{n}-0|>\epsilon)= \end{eqnarray*}$
..da es nur die zwei Ausprägungen 0 und 1 gibt ist das gleich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(X_{n}=1)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac {1}{n}=0 \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit?

Aber jetzt zu "fast sicher", das sollte m.E. folgende Bedingung erfüllen:
$\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty }|X_{n}-X|=0)=1 \end{eqnarray*}$
Da mein X ohnehin positiv ist, und die geg. 0 überprüft wird:
$\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty }X_{n}=0)=1 \end{eqnarray*}$
Aber was ist der Limes von Xn, wenn Xn eine diskrete Variable in 0 oder 1 ist? Der Erwartungswert? Klänge für mich logisch, aber dann wäre die Bedingung erfüllt und ich soll ja zeigen, dass sie eben nicht erfüllt ist...
Grübel, grübel - hat jemand Tipps?
Danke

10.01.2012, 17:40

HAL 9000

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Betrachten wir mal konkrete Trajektorien, also $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ für feste $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet bei diesen 0-1-Folgen, dass es ein (von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ abhängiges) $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ geben muss, so dass $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Definieren wir also mal folgende Ereignisse:

$\begin{eqnarray*} A_k := \Big\{ \omega\in \Omega \Bigm| X_n(\omega)=0 \;\mbox{für alle}\; n\geq k \Big\} \end{eqnarray*}$ ,

offenbar ist dies laut Konstruktion eine monoton aufsteigende Folge von Ereignissen. Weiterhin sollte der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \{ \omega:\; \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)=0 \} = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} A_k \end{eqnarray*}$ klar sein.

Berechnen wir mal $\begin{eqnarray*} P(A_k) \end{eqnarray*}$ : Für beliebige $\begin{eqnarray*} m>k \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} P(A_k) \leq P\left( \Big\{ \omega\in \Omega \Bigm| X_n(\omega)=0 \;\mbox{für alle}\; k\leq n \leq m \Big\} \right) = \prod\limits_{n=k}^m \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \frac{k-1}{m} \end{eqnarray*}$ ,

was für $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} P(A_k)=0 \end{eqnarray*}$ führt - und das für alle, wirklich alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

10.01.2012, 18:27

ele5559

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1000 Dank!

Ich musste es zwar lange, lange anschauen smile

aber, ich hoffe, ich hab jetzt alles verstanden.

LG

10.01.2012, 18:32

HAL 9000

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Du kannst ja mal statt

Zitat:

Original von ele5559
$\begin{eqnarray*} P(X_{n} = 1) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_{n} = 0) = 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

die Folge

$\begin{eqnarray*} P(Y_{n} = 1) = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(Y_{n} = 0) = 1-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

anschauen, um zu sehen, dass es da im Ergebnis anders läuft: Nämlich tatsächlich dann mit fast sicherer Konvergenz. Augenzwinkern

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