Darstellungsmatrix/lineare Abbildung

10.01.2012, 20:05	Eternal Nightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix/lineare Abbildung Aufgabenstellung: Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, $\begin{eqnarray} {A}\in{K^{nxn}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T:V->V \end{eqnarray}$ linear, derart, dass $\begin{eqnarray} M_{T}(B,B)=A \end{eqnarray}$ für jede Basis B von V. $\begin{eqnarray} M_{T} \end{eqnarray}$ bezeichnet die Darstellungsmatrix von T bzgl. B. Zu zeigen ist: Dann existiert ein $\begin{eqnarray} \lambda\in{K} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T=\lambdaI_{V} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I_{V} \end{eqnarray}$ die identische Abbildung auf V bezeichnet. Ich bin relativ ratlos, wie ich überhaupt an die Aufgabe herangehen soll, weil wir in Bezug auf Darstellungsmatrizen bisher nicht wirklich viel gemacht haben. Wir haben den Begriff kurz definiert, da aber keine konkreten Basen gegeben sind, scheint mir diese Definition nicht sehr hilfreich. Wir haben außerdem bewiesen, dass $\begin{eqnarray} M_{T}=K_{B}TK_{B}^{-1} \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} K_{B} \end{eqnarray}$ die Koordinatenabbildung vom $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray*}$ nach V bezeichnet... aber auch damit erschließt sich mir nicht ganz, wo ich da ansetzen könnte. Wäre dankbar für jede Art von Hilfe.
11.01.2012, 19:11	Eternal Nightmare	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner eine Idee? (Ich bitte darum, meine Ungeduld zu entschuldigen...)
15.01.2012, 17:37	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis jetzt hat niemand geantwortet. Mich würde auch interessieren, ob jemand einige Ansätze dazu hat. mfg natural
15.01.2012, 23:42	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit noch nichts! Vielleicht helft dir in etwa meine Überlegungen weiter. Wie wäre es wenn du die Matrix $\begin{eqnarray} I_{V} \end{eqnarray}$ ducrh die Einheitsmatrix ersetzt, ind fragst wie du sie durch eine darstellungsmatrix beschreiben kannst. Habt ihr schon von der Heisenbergsche Vertauschungsrealtion gehört. In Prinzip ist das ja $\begin{eqnarray} I_{V} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} M_{T}(B,B)=I_{V}=CD-DC \end{eqnarray}$ . Ich bin mir da nicht so sicher, ob meine Überlegungen so stimmen. Wäre gut wenn das jemand noch abstempeln oder ergänzen würde. Ich mach mir mal weitere Gedanken und wird irgendwann später, wenn ich auf die Lösung komme, sie hier posten. Bis dahin hoffe ich für dich auf die Beteiligung der Fähigen, sodass der Tread nicht untergeht! mfg natural

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