Mittlere Änderungsrate

10.01.2012, 20:55

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

Mittlere Änderungsrate

Edit (mY+): Titel bitte kurz halten und KEINE Hilfeersuchen!

Meine Frage:
Wir haben bei uns an der Schule gerade mit Mittlere Änderungsrate angefangen, jedoch hat man das Gefühl das die Lehrerin das Thema selber nicht kann!!! Daher bitte ich um Hilfe beim Lösen der Aufgabe.

AA: Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle
X[0]=2 mithilfe des Differenzenquozienten.

a) X²
Wäre sehr Nett wenn mir jmd helfen könnte

Meine Ideen:
Ideen kann ich zur Zeit nicht vieles hinzufügen da das Thema noch sehr jung ist, und ich es leider nicht verstehe.

10.01.2012, 21:05

planck1885

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wenn ich es richtig verstanden habe, dann sollst du von der quadratischen Normalfunktion die Ableitung bilden?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\color{blue} .... \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): Lösung entfernt. Ausserdem geht dein Beitrag an der Frage (mittlere Änderungsrate) vorbei! Du wurdest schon ein Mal verwarnt, in Kürze wird die 2. Verwarnung folgen, wenn du dich nicht endlich an die Regeln hältst!

10.01.2012, 21:11

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, die Lehrein sprach davon das wir keine Ableitung benutzen dürfen, da dies erst in der 11 als ´Themengebiet dran kommt. Wir sollen den "normalen" Weg benutzen.

10.01.2012, 21:18

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi lkbegin,

ich erlaube mir mit dir weiterzuarbeiten smile

smile

.

Du weißt was ein Differenzenquotient ist? Stelle mal die allgemein Formel auf.

10.01.2012, 21:30

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

hey, ja, schon ich bin zum 1 mal in diesem Forum daher weiss ich nicht wie ich das als Formel aufschreibe. Als Bruch oben: f(x1) - f(x0) unten im Bruch: x1 - X0

10.01.2012, 21:34

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich kurz nachhaken.
Üblich ist es mit der h-Methode zu arbeiten. Arbeitet ihr mit dieser Methode weiter?

Anzeige

10.01.2012, 21:41

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, öhhm, ja, die h methode lautet: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h{} \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 21:42

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh du kennst beides, noch besser :thumbs:
Mach doch gerade mal mit der h-Methode weiter.

Was ist f(x)? Was demnach f(x+h)? Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2012, 21:45

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich würde dadrauf tippen: f(x) ist x²
bei h bin ich mir nicht sicher ist h dann 2? ist ja das was noch da ist.

10.01.2012, 21:48

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, f(x)=x².

Das h läuft aber gegen 0. Es kann also schon mal nicht 2 sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Funktion lautet zu quadrieren. Das also machst du mit dem x. Weil
f(x) sagt, quadriere x!
Jetzt aber sagt die Funktion f(x+h), quadriere x+h.
Das mach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.01.2012, 21:52

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ist demnach dann h = 0??

muss ich dann 2 mit 0 quadrieren? X ist ja 2 oder ?

demnach wäre das dann 4

10.01.2012, 21:54

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

nene, noch ein Schritt langsamer.
h ist nicht 0, sondern nur nahe dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Deswegen lassen wir h einfach mal stehen.
Die 2 vergiss mal bis ich sage, dass du sie nicht mehr vergessen sollst Big Laugh

Big Laugh

.

Also die Funktion (das f), sagt, quadriere mein Argument -> f(x)=x²
Was gilt damit für f(x+h)?

10.01.2012, 21:57

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss jetzt also f(x)=X² quadrieren? das müsste dann doch f(x)=(X²)² sein oder?

10.01.2012, 22:01

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das dann in der Formel f((x)²-h)
oder ist das dann (f(x-h)²
oder doch was anderes verwirrt

verwirrt

10.01.2012, 22:04

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nenene,
das f ist sowas wie eine Befehl "quadriere" (in unserem Falle).
Also f(x) -> quadriere x -> x²
Demnach ist f(x+h) -> quadriere (x+h) -> (x+h)²

Klar?

Dann setz das in die Formel ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2012, 22:09

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)²-f(x)²}{h} \end{eqnarray*}$ oder?

10.01.2012, 22:11

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h{} \end{eqnarray*}$

Wie man f(x+h) und f(x) umschreiben kann, habe ich in den letzten paar Posts versucht
zu erklären. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2012, 22:15

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, warum haben wir dann gerade das andere mit dem quadrieren gemacht? (soll jetzt kein Vorwurf seien, nur zum Verständniss)
und nachdem wir jetzt die Formel haben müssen wir was genau machen?

10.01.2012, 22:23

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Aufgabe lautet, die Ableitung von f(x)=x² an der Stelle x0=2 zu bestimmen.

Dafür hast du diese Formel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h{} \end{eqnarray*}$

Es ist deine Aufgabe die allgemein Formel auf unser Problem zurechtzurücken.
Dafür hast du f(x) durch x² zu ersetzen und f(x+h) durch (x+h)² (siehe oben) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Klar?

10.01.2012, 22:26

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, ok wir machen mittlere Änderungsrate ist das das gleiche was du mit ableitung meinst?

ok, das habe ich verstanden, was muss ich jetzt tuen. (ich brauche immer so einmal alles ganz klein erklärt, nicht wundern)

10.01.2012, 22:35

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei euch in der Aufgabenstellung ist es auch als Ableitung bezeichnet. Deswegen
hab ich auch den Fachbegriff gewählt smile

smile

.

Wenn wir das in die Formel einsetzen, was wir herausgefunden haben, haben wir:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \end{eqnarray*}$

Das ist klar?
Löse den Binomi im Zähler auf und fasse zusammen.

10.01.2012, 22:44

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

genau, das habe ich verstanden!!

jetzt: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x^{4}+2xh+h}{h} \end{eqnarray*}$

könnte ich jetzt auch die beiden letzten h wegkürzen sprich: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}x^{4}+2xh \end{eqnarray*}$
?

10.01.2012, 22:46

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist gut, wenn die Anfangsphase verstanden ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Kommen wir zur Zwischenphase, dem Ausmultiplizieren und zusammenfassen.
Da hats nicht ganz geklappt. Ein neuer Versuch bitte smile

smile

.

10.01.2012, 22:48

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst muss man ja mit der 1 binomischen Formel benutzen oder?

10.01.2012, 22:52

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

10.01.2012, 22:54

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

dann wird doch aus der gleichung diese oder $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x²+2xh+h²+x²}{h} \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 22:55

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x²+2xh+h²\color{red}+\color{black}x²}{h} \end{eqnarray*}$

Dies erkläre mir smile

smile

.

10.01.2012, 22:59

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

minus natürlich habe ich verguckt!!! dann müsste das ja am ende nach der binomi dies sein oder: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{2xh+h-x²}{h} \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 23:02

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das x² vom Beginn hin verwirrt

verwirrt

.
(x+h)²=x²+2xh+h² und davon wird noch x² abgezogen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Was ich aber noch anmerken wollte.
$\begin{eqnarray*} x²+x²=2x²\neq x^4! \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 23:05

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

oh stimmt wollte der nicht. ist das dann $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{2x²+2xh+h²-x²}{h} \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 23:10

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

vertan!!!! dann kann ich ja oben das x² wegkürzen und die h aus???
bleibt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2xh \end{eqnarray*}$ übrig???

10.01.2012, 23:12

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wohl nun meine Schuld, ich habe dich mit dem x²+x²=2x² verwirrt.
Das sollte nur eine Nebenbemerkung sein! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir hatten doch gerade:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \end{eqnarray*}$

Der erste Summand des Zählers ist ein Binom.
(x+h)²=x²+2xh+h².
Ohne 2x² oder sonst sowas Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Davon wird der zweite Summand abgezogen ->
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{x^2+2xh+h²-x^2}{h} \end{eqnarray*}$

Also einfach abziehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{2xh+h²}{h} \end{eqnarray*}$

Wenn wir das h gegen 0 laufen lassen, ist es nun sehr störend, wenn das h noch im
Nenner vorhanden ist! Denn durch 0 darf man bekanntlich nicht teilen.
Versuche das h aus dem Nenner zu entfernen. Es ist dabei hilfreich im Zähler auszuklammern
und dann zu kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.01.2012, 23:13

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lkbegin
vertan!!!! dann kann ich ja oben das x² wegkürzen und die h aus???
bleibt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2xh \end{eqnarray*}$ übrig???

Du hast deinen Fehler wie es scheint erkannt, aber wohl einen neuen eingebaut.
Orientiere dich an meinem vorherigen Post Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.01.2012, 23:14

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2xh+h \end{eqnarray*}$ schreiben?

10.01.2012, 23:19

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da ist ein h zu viel bei dir drin.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{2xh+h²}{h} \end{eqnarray*}$

h ausklammern:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{h(2x+h}{h} \end{eqnarray*}$

h kürzen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}2x+h \end{eqnarray*}$

Das ist auch fast schon unser Ergebnis. Unser Differenzenquotient.
Nun lassen wir h gegen 0 gehen.
Wie lautet dann unsere Ableitung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2012, 23:23

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

das bedeutet wir müssen bstimmt iwas mit dieser 2 machen ???
für x einsetzten ?

10.01.2012, 23:24

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

bzw. was war nochmal h in zahlen? oder was genau muss ich jetzt machen

10.01.2012, 23:25

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst müssen wir h gegen 0 laufen lassen.

Inwiefern fällt das h bei 2x+h ins Gewicht, wenn wir annehmen, das h fast 0 ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2012, 23:28

lkbegin

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das dann so: weil h fast null ist können wir null einsetzten für h, hätten wir ja die Formel $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}2x+0 \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 23:33

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kannst du den Limes dann weglassen. Du hast ihn ja schon angewendet.
Der Rest aber ist richtig.

Wir haben also dann
f'(x)=2x -> unsere Ableitung.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »