Kommutatorgruppe

10.01.2012, 20:44

Kimi_R

Kommutatorgruppe

Hallo Matheboard,

Sei G eine Gruppe. Dann ist der Kommutator von x und y aus G definiert als
$\begin{eqnarray*} [x,y]:=x^-1*y^-1*x*y \end{eqnarray*}$
Die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe ist definiert als $\begin{eqnarray*} G':= <[x,y]:x,y \in G> \; \leq G \end{eqnarray*}$
(die Kommutatorgruppe von G)

Zeigen Sie: G' ist normal in G

Meine Ideen: Es gilt ja bekanntlich

$\begin{eqnarray*} G' \; normal \; in \; G \Leftrightarrow \forall g \in G: \forall h \in G': g^-1*h*g \in G' \end{eqnarray*}$

Problem: Nehme ich an das h von der Form ist $\begin{eqnarray*} h=a^-1*b^-1*a*b \end{eqnarray*}$ , dann wäre die Aufgabe kein Problem. Allerdings kann ich davon doch nicht ohne Einschränkung ausgehen, oder?

Denn soweit ich weiß ist das Produkt zweiter Kommutatoren im Allgemeinen kein Kommutator mehr.
Wie kann ich mir also ein allgemeines Element aus G' vorstellen?

10.01.2012, 20:59

galoisseinbruder

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Zeige: für jeden Hom. $\begin{eqnarray*} f: G \to H \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(G')\subseteq H' \end{eqnarray*}$ .
Wie man das auf diese Aufgabe anwenden kann darfst du mir dann noch verraten.

Ein Element der Kommutatorgruppe ist ein endliches Produkt von Kommutatoren.

14.01.2012, 12:09

Kimi_R

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Zeige: für jeden Hom. $\begin{eqnarray*} f: G \to H \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(G')\subseteq H' \end{eqnarray*}$ .
Wie man das auf diese Aufgabe anwenden kann darfst du mir dann noch verraten.

Ein Element der Kommutatorgruppe ist ein endliches Produkt von Kommutatoren.

Hallo Galois

Danke für die Hilfe. Ich habe es jetzt zwar anders gelöst, aber eine Antwort bin ich dir ja trotzdem noch schuldig.
Deine Beweisidee gründet (so wie ich das sehe) auf der Tatsache, dass die Kerne von Homomorphismen genau die Normalteiler sind und das für einen Homomorphismus f gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x^-1)=f(x)^(-1) \end{eqnarray*}$

Ich habe es induktiv über die Anzahl der Faktoren gezeigt, da sich alle Elemente von G' als Produkt von Kommutatoren darstellen lassen

Deine Variante ist wohl "eleganter"

15.01.2012, 10:54

galoisseinbruder

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Zitat:

Deine Beweisidee gründet (so wie ich das sehe) auf der Tatsache, dass die Kerne von Homomorphismen genau die Normalteiler sind

Nein.
Nur darauf das Konjugation ein Gruppenhom. ist. Wie du von meinem Post auf Kerne kommst ist mir schleierhaft.

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