Ungleichung mit Logarithmus

10.01.2012, 22:12	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Logarithmus Hallo! Folgende Ungleichung soll gezeigt werden: $\begin{eqnarray} \log (1+x^a) \leq a\cdot x, \quad x \geq 0, \quad a \geq 1 \end{eqnarray}$ Diese Ungleichung sieht ziemlich einfach aus, nur finde ich keinen Beweis dazu. Hat da jemand einen Tipp?
10.01.2012, 23:10	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\log(1+x^a)}{x}=a\cdot\frac{\xi^{a-1}}{1+\xi^a} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \xi\in(0, x) \end{eqnarray}$ nach dem MWS, eine Fallunterscheidung ob $\begin{eqnarray} \xi \leq 1 \end{eqnarray}$ bzw >1 liefert, dass der zweite Faktor kleiner gleich 1 ist. Für x=0 setzt man ein um die Ungl zu verifizieren. Mir fällt jetzt kein elegentarer weg ein.
11.01.2012, 20:46	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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